在遭遇医疗事故时，您可以按照以下步骤来寻求解决，并明确最先应该联系的部门：
一、初步处理与证据收集
首先，确保患者安全，及时寻求必要的医疗救治。同时，尽可能收集与医疗事故相关的所有证据，包括但不限于医疗记录、诊断报告、处方、缴费凭证以及任何与医疗过程相关的书面或电子材料。这些证据将在后续的解决过程中起到关键作用。
二、首选解决途径：医疗纠纷调解委员会
对于医疗事故争议，一个高效且相对中立的解决途径是联系当地的医疗纠纷调解委员会（医调委）。医调委是一个专门负责调解医患纠纷的第三方机构，它能够提供专业的调解服务，帮助医患双方达成和解。
联系医调委的步骤：
准备材料：根据医调委的要求，准备调解申请书、当事人身份证明、委托代理人授权委托书（如适用）、申诉材料以及医疗纠纷相关证据材料。
提交申请：将准备好的材料提交给医调委。医调委在接到申请后，会在规定时间内（通常是3个工作日内）决定是否受理，并通知双方当事人。
参与调解：如果医调委决定受理，它会安排调解会议，邀请医患双方参加。在调解过程中，双方可以陈述自己的观点和诉求，医调委则会根据事实和法律进行调解，力求达成双方都能接受的解决方案。
三、其他解决途径
如果医调委调解不成，或者您不愿意通过医调委解决，您还可以考虑以下途径：
协商解决：对于较小的纠纷，医患双方可以在平等自愿的基础上进行友好协商，并签署解决协议书。
行政申诉与复议：向当地的卫生健康局（或卫健委）医政科提出申诉，由该部门主持解决或委托医学会进行医疗事故鉴定，再依据鉴定结果进行处理。
民事诉讼：如果其他途径都无法解决问题，您可以向当地法院提起民事诉讼，由法院依法进行判决。
四、最先联系的部门
在上述解决途径中，最先且推荐联系的部门是当地的医疗纠纷调解委员会。这是因为医调委具有专业性和中立性，能够高效地调解医患纠纷，帮助双方达成和解。同时，医调委的调解过程相对灵活，可以根据双方的需求和实际情况进行调整，更有可能满足双方的合理诉求。
五、联系方式与地址
为了方便您联系医调委，我建议您通过当地卫生健康局（或卫健委）的官方网站或咨询热线获取医调委的具体联系方式和地址。这样，您可以确保联系到正确的机构，并顺利提交调解申请。
总之，在遭遇医疗事故时，保持冷静并收集好相关证据是关键。然后，您可以优先联系当地的医疗纠纷调解委员会寻求帮助。如果调解不成或其他途径更适合您的情况，再考虑其他解决方式。希望这些信息能够对您有所帮助。