结论是：仲裁以后申请人先上诉，被申请人依然有上诉的权利，并非不能上诉。以下从几个方面为你详细解释：

上诉权利的基本规定

在劳动仲裁或一般的仲裁程序中，仲裁裁决并非终局性的（特定小额仲裁裁决等除外），当事人对仲裁裁决不服的，都有权在法定期限内向有管辖权的人民法院提起诉讼，这里的“当事人”包括申请人和被申请人。这是法律赋予当事人维护自身合法权益的重要途径，旨在通过司法审查确保仲裁裁决的公正性和合法性。

上诉期限与程序

1. 上诉期限：当事人对仲裁裁决不服的，应当自收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。这个期限是法定的，当事人必须严格遵守，逾期提起诉讼的，人民法院可能不予受理。
2. 上诉程序：无论是申请人还是被申请人，提起诉讼时都需要向有管辖权的人民法院提交起诉状，并按照对方当事人的人数提出副本。起诉状应当记明当事人的姓名、性别、年龄、民族、职业、工作单位和住所，以及诉讼请求和所根据的事实与理由等内容。

双方上诉的相互影响

1. 独立上诉权：申请人和被申请人的上诉权是独立的，一方的上诉行为并不影响另一方的上诉权利。也就是说，即使申请人先提起了诉讼，被申请人仍然可以在法定期限内提起自己的诉讼。
2. 诉讼合并审理：如果申请人和被申请人都对仲裁裁决不服并提起了诉讼，人民法院在受理案件后，为了节约司法资源、提高诉讼效率，可能会将两个案件合并审理。但这并不意味着被申请人的上诉权利被剥夺或受到限制。

实际案例说明

假设在一个劳动仲裁案件中，仲裁裁决支持了申请人的部分请求，但驳回了其他请求。申请人对裁决结果不满，在法定期限内向人民法院提起了诉讼。此时，被申请人如果也对裁决结果不满，同样有权在法定期限内向人民法院提起诉讼。人民法院在受理这两个案件后，会根据实际情况决定是否合并审理。

法律建议

1. 及时行使权利：如果你对仲裁裁决不服，无论是作为申请人还是被申请人，都应当在法定期限内及时向人民法院提起诉讼，以免错过维权时机。
2. 准备充分证据：在提起诉讼时，要准备充分的证据来支持自己的诉讼请求和事实理由，以提高胜诉的可能性。
3. 寻求专业帮助：劳动纠纷涉及的法律问题往往比较复杂，如果你对法律程序或实体问题不太了解，可以向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助。

希望以上解释能让你对仲裁后的上诉权利有更清晰的认识。如果你还有其他法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。