在仲裁裁决书下来后，若被申请人上诉（实际应为申请撤销仲裁裁决或提起诉讼，因为劳动仲裁后一般是一方起诉而非上诉），申请人是否可以上诉（或采取相应法律行动）的问题，需要分情况讨论：

1. 若被申请人向法院申请撤销仲裁裁决：

   • 在这种情况下，申请人（即仲裁裁决的胜诉方）通常不需要直接“上诉”来回应被申请人的撤销申请。法院会对撤销申请进行审查，并作出是否撤销仲裁裁决的裁定。
   • 如果法院裁定撤销仲裁裁决，那么双方当事人可以就原劳动争议事项重新向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或者按照双方达成的书面仲裁协议重新申请仲裁，也可以直接向人民法院提起诉讼。此时，申请人若对新的仲裁结果或法院判决不服，可以在法定期限内提起诉讼或上诉（如果是诉讼程序的话）。
   • 如果法院裁定驳回被申请人的撤销申请，那么仲裁裁决继续有效，申请人可以依据该裁决要求被申请人履行义务。若被申请人不履行，申请人可以向法院申请强制执行。

2. 若被申请人就仲裁裁决向法院提起诉讼（在特定情况下，如劳动争议仲裁委员会不予受理或者逾期未作出决定的，申请人可以就该劳动争议事项向人民法院提起诉讼；但通常是被申请人对仲裁裁决不服，在法定期限内向法院提起诉讼）：

   • 在这种情况下，仲裁裁决实际上已经失去了效力，因为一方当事人已经选择了司法救济途径。法院会就劳动争议事项进行审理，并作出判决。
   • 申请人作为被告（在诉讼程序中），需要积极应诉，提出自己的答辩意见和证据。如果申请人对法院的判决不服，可以在法定期限内提起上诉。

法律背景与建议：

• 劳动仲裁是解决劳动争议的一种前置程序，但并非终局程序。一方或双方对仲裁裁决不服的，可以在法定期限内向法院提起诉讼或申请撤销仲裁裁决。
• 在处理劳动争议时，建议当事人及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及可能的法律后果。律师可以根据具体情况，为当事人提供针对性的法律建议和策略。
• 无论是申请撤销仲裁裁决还是提起诉讼，都需要遵循法定的程序和期限。当事人应当密切关注相关时间节点，以免错过救济机会。

可能法律后果：

• 如果被申请人成功撤销仲裁裁决或法院改判，申请人可能需要重新通过仲裁或诉讼途径来维护自己的权益。
• 如果申请人未能及时应诉或提出有效的答辩意见和证据，可能会面临不利的法律后果。

总结与进一步行动建议：

• 在仲裁裁决书下来后，若被申请人采取法律行动（申请撤销或提起诉讼），申请人应当根据具体情况采取相应的法律策略。
• 建议申请人及时咨询专业律师，以便更好地了解自己的权利和义务，以及可能的法律后果。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。