结论：针对没有抚养关系的继子在遗赠60天内起诉且遇到开死亡证明受阻的情况，可按以下步骤处理：

1. 明确死亡证明开具主体与条件

   • 主体：死亡证明一般由医疗机构（如医院）或公安机关（如派出所）出具。若被继承人在医疗机构去世，由该机构出具《居民死亡医学证明（推断）书》；若在家中或非医疗机构去世，需先联系社区或村委会开具死亡情况说明，再由公安机关出具死亡证明。
   • 条件：开具死亡证明的核心依据是“死亡事实”，与申请人是否为继承人、是否有抚养关系无关。只要提供被继承人身份信息（如身份证、户口本）及死亡相关线索（如死亡时间、地点），医疗机构或公安机关应依法出具证明。

2. 若遭遇“不给开”的情况，可采取以下措施

   • 要求书面说明拒绝理由：根据《民法典》第1012条（虽未直接规定死亡证明，但涉及公民权利保障）及《公安机关办理户籍业务规范》，行政机关或医疗机构无正当理由不得拒绝出具证明。若对方拒绝，可要求其出具书面说明，注明拒绝依据（如“材料不全”“非直系亲属”等）。
   • 补充材料或更正申请方式：
     • 若因“非直系亲属”被拒：死亡证明的申请人不限于直系亲属，继子作为潜在继承人（无论是否有抚养关系）均有权申请。可强调“继承权”与“开具证明权”的独立性，提供被继承人身份证、户口本、继子身份证明等材料，要求重新审核。
     • 若因“材料不全”被拒：核对对方要求的材料清单，补充缺失文件（如死亡时间、地点的辅助证明，如邻居证言、社区记录等）。
   • 向上级部门投诉或申请行政复议：若对方仍拒绝且无正当理由，可向其上级主管部门（如卫健委、公安局）投诉，或直接申请行政复议（需在知道拒绝之日起60日内提出）。行政复议是免费且高效的救济途径，可强制要求对方出具证明或说明合法理由。
   • 通过法院调查令获取证明：若已进入诉讼程序（如遗赠纠纷起诉），可向法院申请调查令，由法院直接向医疗机构或公安机关调取死亡证明。法院的调查令具有强制力，相关单位必须配合。

3. 特殊情况处理

   • 被继承人死亡时间久远或档案丢失：若因历史原因无法获取正式死亡证明，可尝试提供以下替代材料：
     • 户籍注销证明（公安机关出具）；
     • 火化证明（殡仪馆出具）；
     • 村委会/居委会开具的死亡情况说明（需加盖公章）；
     • 证人证言（如邻居、亲友的书面陈述，附证人身份证复印件）。
   • 继子与被继承人无抚养关系的影响：无抚养关系不影响继子作为法定继承人（若符合《民法典》第1127条“继子女与继父母形成抚养关系”的例外情形）或遗赠受赠人的身份，但可能影响继承份额。死亡证明的开具与继承关系无关，无需因无抚养关系而放弃申请。

行动建议：

1. 优先与开具证明的单位沟通，明确拒绝理由并补充材料；
2. 若沟通无果，立即向上级部门投诉或申请行政复议；
3. 若已起诉，尽快向法院申请调查令；
4. 保留所有沟通记录（如录音、书面回复）作为后续维权证据。

如有进一步疑问（如具体材料清单、投诉流程），可直接向我咨询，我会结合您的具体情况提供详细指引。