核心结论：房屋租赁到期未及时签协议后面补签，租期起始日和签订日期的确定需分情况讨论，具体如下：
双方协商一致确定租期起始日
若双方在补签协议时，对原租赁到期后的实际使用时间、租金支付等事项无争议，且明确约定租期从原租赁到期日次日起算（例如原合同2023年6月30日到期，补签协议约定租期从2023年7月1日起算），则租期按协商日期计算。此时签订日期可写补签当日的实际日期（如2023年8月5日），但需在协议中明确“本合同系对2023年7月1日起租赁关系的补签确认”，避免争议。
以补签协议当日作为租期起始日
若双方未就原租赁到期后的使用时间达成一致，或原租赁到期后承租人继续使用房屋但未支付租金，出租人未提出异议，此时补签协议可约定租期从补签当日起算（如2023年8月5日）。此时签订日期同样写补签当日日期，但需注意：根据《民法典》第七百三十四条，原租赁合同到期后承租人继续使用房屋，出租人未提出异议的，原租赁合同继续有效，但租赁期限为不定期。因此，若补签协议前已形成不定期租赁关系，补签协议可视为对不定期租赁的固定化，租期从补签日起算更符合双方真实意思表示。
以实际使用时间倒推租期起始日
若双方对原租赁到期后的使用时间存在争议（如承租人主张免费使用、出租人主张应支付租金），需结合证据（如租金支付记录、沟通记录等）确定实际使用时间。若能证明承租人自原租赁到期后持续使用房屋并支付租金，可协商将租期起始日定为原租赁到期日次日，签订日期写补签当日日期，并在协议中注明“双方确认承租人自2023年7月1日起实际使用房屋并支付租金，本合同系对此期间租赁关系的补签确认”。
签订日期的建议：
无论租期如何约定，签订日期建议写补签协议的实际日期（如2023年8月5日），并在协议中明确租期起始日与签订日期的关系（如“本合同签订于2023年8月5日，租期自2023年7月1日起至2024年6月30日止”）。此举可避免因日期混淆导致租期计算争议，同时符合《民法典》第四百七十条关于合同内容的要求。
风险提示：
若补签协议前已形成不定期租赁关系，出租人可随时解除合同（但需在合理期限前通知承租人）；若补签协议未明确租期起始日，可能被认定为对原租赁合同的延续或不定期租赁，增加双方风险。因此，补签协议时务必明确租期、租金、支付方式等核心条款，并保留相关证据（如沟通记录、付款凭证等）。
如有其他细节需要进一步分析，可直接向我咨询。