对于不设董事会的有限责任公司，其董事（通常称为执行董事）的职权行使方式主要依据《中华人民共和国公司法》的相关规定以及公司章程的具体设定。以下是对这一问题的详细解答：
一、法律依据与适用情形
根据《中华人民共和国公司法》第五十条的规定，股东人数较少或者规模较小的有限责任公司，可以设一名执行董事，而不设董事会。这种设置特别适用于那些股东数量有限、公司规模相对较小的有限责任公司，有助于简化决策流程，提高运营效率。
二、执行董事的产生
执行董事由股东会选举和更换。这一过程体现了股东对公司管理层的选择权和控制权，确保了执行董事的合法性和代表性。
三、执行董事的职权
执行董事的职权主要由公司章程规定，但通常包括以下几项核心职权，这些职权与董事会的职权类似：
召集和主持股东会会议：执行董事负责召集股东会，确保股东能够及时了解公司运营状况，并参与重大决策。
执行股东会的决议：执行董事需确保股东会的决议得到有效执行，维护公司利益和股东权益。
决定公司的经营计划和投资方案：执行董事根据公司实际情况和市场环境，制定并调整公司的经营计划和投资方案。
制订公司的财务方案：包括年度财务预算方案、决算方案，以及利润分配方案和弥补亏损方案等，确保公司财务稳健。
制订公司重大变更方案：如增加或减少注册资本、发行公司债券、公司合并、分立、解散或变更公司形式等，这些方案需经股东会批准后实施。
决定公司内部管理机构的设置：执行董事根据公司运营需要，设置或调整公司内部管理机构，确保公司高效运作。
聘任或解聘公司经理及其报酬事项：执行董事负责聘任或解聘公司经理，并决定其报酬事项，同时根据经理的提名决定聘任或解聘公司副经理、财务负责人及其报酬事项。
四、公司治理结构与决策流程
在不设董事会的有限责任公司中，治理结构相对简化。股东会直接选举或任命执行董事，并对其进行监督和评价。重大决策通常由执行董事提出，并经股东会批准后实施。这种结构减少了中间层，使得决策流程更加高效，但同时也要求执行董事具备更高的决策能力和责任感，直接对股东负责。
五、风险管理与合规性
执行董事需特别注意公司的合规性和风险管理。他们应确保公司运营符合相关法律法规的要求，避免违规操作带来的法律风险。同时，执行董事还应建立健全的内部控制体系，确保公司财务和运营的稳健性。
六、灵活性与股东权益保护
不设董事会的公司结构在决策和执行上通常更加灵活，有助于公司快速适应市场变化。然而，这也要求公司特别关注股东权益的保护。应建立健全的股东会议制度，确保股东能够充分参与公司的决策过程，并对执行董事的行为进行有效监督。
综上所述，不设董事会的有限责任公司的执行董事在行使职权时，应严格遵守公司法和公司章程的规定，确保公司运营的合规性和稳健性，同时保护股东的合法权益。