结论：有限责任公司选出的董事即使没有兼任公司行政职务，依然可以通过参加董事会会议、行使表决权、监督公司管理层、提议召开临时股东会或董事会等方式来行使董事职权。

详细解释与行使方式：

1. 参加董事会会议并行使表决权：

   • 法律基础：根据《公司法》及相关规定，董事是董事会的成员，有权参加董事会会议，并在会议上就公司的重要事项进行讨论和表决。
   • 行使方式：董事应按时参加董事会会议，对会议议题进行充分讨论，并根据自己的判断行使表决权。表决权是董事行使职权的重要方式，通过表决可以影响公司的决策方向。

2. 监督公司管理层：

   • 法律基础：董事作为公司治理结构中的重要一环，负有监督公司管理层的职责，确保管理层按照法律法规和公司章程的规定履行职责。
   • 行使方式：董事可以通过查阅公司财务报表、审计报告等文件，了解公司的经营状况和财务状况；可以要求管理层就特定事项进行说明或解释；在发现管理层存在违法行为或违反公司章程的行为时，可以提出质询或建议罢免相关管理人员。

3. 提议召开临时股东会或董事会：

   • 法律基础：在特定情况下，如公司遇到重大事项需要决策或董事会无法正常履行职责时，董事有权提议召开临时股东会或董事会。
   • 行使方式：董事应根据公司章程或相关法律法规的规定，向董事会或股东会提出召开临时会议的提议，并说明提议的理由和议题。在提议获得通过后，应按照规定的程序组织召开会议。

4. 行使其他董事会赋予的职权：

   • 法律基础：除了上述职权外，董事会还可以根据公司章程或相关法律法规的规定，赋予董事其他特定的职权。
   • 行使方式：董事应根据公司章程或董事会的授权，行使这些特定的职权。例如，董事会可能授权董事在特定范围内代表公司签署合同、处理公司日常事务等。

注意事项与建议：

• 了解公司章程和法律法规：董事在行使职权时，应充分了解公司章程和相关法律法规的规定，确保自己的行为符合法律和公司章程的要求。
• 保持独立性和客观性：董事在行使职权时，应保持独立性和客观性，不受任何外部因素的影响或干扰，确保自己的决策是基于对公司利益的全面考虑。
• 加强沟通与协作：董事之间以及董事与管理层之间应加强沟通与协作，共同推动公司的发展。通过定期的会议和交流，可以及时了解公司的经营状况和财务状况，共同解决公司面临的问题。

可能遇到的法律后果：

• 如果董事在行使职权时违反法律法规或公司章程的规定，可能会面临法律责任和公司内部的纪律处分。例如，如果董事利用职权谋取私利或损害公司利益，可能会被追究法律责任并受到公司的罢免或处罚。

总结与进一步思考：

• 董事即使没有兼任公司行政职务，也依然可以通过多种方式行使董事职权，参与公司的治理和决策。
• 在行使职权时，董事应充分了解自己的职责和权限，遵守法律法规和公司章程的规定，保持独立性和客观性，加强沟通与协作。
• 如有任何疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律解答和建议。