结论前置：公司垫付工亡赔偿后，在符合法定条件的情况下，可以起诉工伤保险基金要求返还。以下分情况详细说明：

1. 工伤保险基金应支付而未支付的情况
   根据《工伤保险条例》及相关规定，职工因工死亡，其近亲属可从工伤保险基金领取丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金。若工伤保险基金因程序瑕疵（如未及时受理、审核延迟）或争议（如对工伤认定有异议）未支付上述待遇，而公司已基于人道主义或劳动关系先行垫付的，公司有权通过行政诉讼或民事诉讼（视基金性质和地方实践而定）要求工伤保险基金返还垫付款。此时需满足两个条件：

   • 垫付行为有明确证据（如转账记录、赔偿协议）；
     
   • 工伤保险基金的支付义务已通过工伤认定、劳动能力鉴定等程序确认。

2. 工伤保险基金已支付但公司重复垫付的情况
   若工伤保险基金已依法支付工亡待遇，但公司因信息滞后或误解重复垫付的，公司可与工伤职工或其近亲属协商返还；若协商不成，可依据《民法典》第985条（不当得利）提起民事诉讼，要求返还重复支付的部分。但需注意：若公司垫付时明确表示“无需返还”（如作为额外补偿），则可能丧失返还请求权。

3. 工伤保险基金拒付但公司认为应支付的情况
   若工伤保险基金以“不属于工伤范围”“证据不足”等理由拒付，而公司认为符合工伤条件并已垫付的，需分两步处理：

   • 行政程序：先通过行政复议或行政诉讼推翻基金的拒付决定，确认工伤待遇支付义务；
     
   • 民事程序：在行政决定生效后，再起诉工伤保险基金返还垫付款。
     若直接起诉基金而未先解决工伤认定争议，法院可能以“未履行前置程序”为由驳回起诉。

实务建议：

• 垫付前建议与工伤保险基金沟通，确认支付进度和条件，避免重复垫付；
  
• 垫付时签订书面协议，明确“若基金支付则返还公司”的条款；
  
• 保留工伤认定书、劳动能力鉴定结论、支付凭证等关键证据；
  
• 若基金拒付，优先通过行政途径解决工伤认定争议，再考虑诉讼返还。
  

如有具体案件细节（如垫付金额、基金拒付理由等），可进一步向我咨询，我会结合地方规定和司法实践为您分析。