结论：合同一年一签但写了五百一个月，后续没签是否算继续租，需分情况讨论，主要取决于双方的实际履行行为以及是否达成继续租赁的合意。

1. 双方继续按照原合同履行，且无异议

   • 如果在原租赁合同到期后，承租人继续使用租赁物，出租人没有提出异议，并且继续按照原合同约定的每月五百元收取租金，那么根据《中华人民共和国民法典》第七百三十四条的规定：“租赁期限届满，承租人继续使用租赁物，出租人没有提出异议的，，原租赁合同继续有效，但是租赁期限为不定期。”这种情况下，可以视为双方继续租赁，原合同继续有效，只是租赁期限变为不定期。

2. 双方对继续租赁有口头或其他形式的约定

   • 即使没有签订书面的租赁合同，但如果双方通过口头或其他形式（如微信聊天记录、短信等）达成了继续租赁的合意，并且明确了租金、租赁期限等关键条款，那么这种约定也是具有法律效力的。在这种情况下，同样可以视为双方继续租赁。

3. 一方不同意继续租赁或对租赁条款有争议

   • 如果在原租赁合同到期后，出租人或承租人中的任何一方明确表示不同意继续租赁，或者对继续租赁的条款（如租金、租赁期限等）存在争议，那么就不能简单地视为双方继续租赁。此时，双方需要通过协商、调解或诉讼等方式解决争议，明确是否继续租赁以及租赁的具体条款。

建议：

• 对于出租人而言，如果希望继续租赁，建议与承租人及时签订书面的租赁合同，明确双方的权利和义务，避免产生不必要的纠纷。
• 对于承租人而言，如果希望继续租赁，也应主动与出租人沟通，并尽量签订书面的租赁合同，以保障自己的合法权益。
• 如果双方无法就继续租赁达成一致意见，或者对租赁条款存在争议，建议及时咨询专业律师，通过法律途径解决争议。