私下调解达成的协议书，在法律上通常被称为“调解协议书”或“和解协议书”。这两种称呼都是基于协议书的内容和目的来命名的，它们都体现了双方通过协商、调解达成一致，并愿意按照协议内容履行各自义务的法律文件。

调解协议书的特点

1. 自愿性：调解协议书是双方自愿达成的，不存在欺诈、胁迫等情形。这是调解协议书具有法律效力的基础。

2. 合法性：调解协议书的内容必须合法，不违反法律、行政法规的强制性规定，也不违背公序良俗。只有合法的调解协议书才能得到法律的保护。

3. 明确性：调解协议书应当明确双方的权利和义务，包括履行方式、履行期限等关键内容。这有助于确保协议的履行和减少后续纠纷。

和解协议书的特点

1. 和解性：和解协议书强调双方通过和解方式解决纠纷，体现了双方的和解意愿和妥协精神。

2. 灵活性：和解协议书的内容可以根据双方的实际情况和需求进行灵活约定，只要不违反法律规定和公序良俗即可。

3. 保密性：在某些情况下，和解协议书可能包含双方不愿公开的信息或条款。此时，双方可以在协议中约定保密条款，以保护各自的隐私和商业秘密。

实际应用中的注意事项

1. 书面形式：为了确保调解协议书或和解协议书的法律效力，建议双方采用书面形式签订协议，并由双方签字或盖章确认。

2. 见证或公证：如果条件允许，双方可以邀请第三方见证或进行公证，以增强协议的法律效力和可信度。

3. 履行监督：在协议履行过程中，双方可以约定履行监督机制，如定期汇报履行情况、设立共同账户等，以确保协议的顺利履行。

4. 法律救济：如果一方违反协议约定，另一方可以依法寻求法律救济，如向法院提起诉讼或申请仲裁等。

总结来说，私下调解达成的协议书在法律上通常被称为调解协议书或和解协议书。这两种协议书都具有法律效力，但具体名称和内容可能因双方协商和实际情况而有所不同。在签订协议时，建议双方充分考虑上述特点和注意事项，以确保协议的合法性和有效性。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。