结论：在借款人死亡且有房产抵押、子女有车产的情况下，银行是否应追责担保人，需根据具体情况判断，若抵押房产价值足以覆盖债务，银行通常无需追责担保人；若不足以覆盖，银行有权要求担保人承担剩余债务的清偿责任。以下从不同角度详细分析：
一、抵押房产的清偿作用
抵押权的优先受偿性：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，抵押权人对抵押物享有优先受偿的权利。在借款人死亡后，银行作为抵押权人，有权就抵押的房产进行拍卖、变卖，并从所得价款中优先受偿。
- 举例：若借款人欠银行100万元，其抵押的房产经评估价值为120万元，则银行可通过处置房产获得全额清偿，无需再向担保人追责。
抵押物价值不足时的处理：
- 若抵押房产的价值不足以覆盖全部债务，银行在处置房产后，对于剩余未清偿的债务，有权要求担保人承担清偿责任。
- 举例：若借款人欠银行100万元，其抵押的房产经评估价值为80万元，则银行处置房产后，仍有20万元债务未清偿。此时，银行有权要求担保人承担这20万元的清偿责任。
二、担保人的责任范围
担保合同的约定：
- 担保人的责任范围通常由担保合同约定。若担保合同中明确约定了担保人对全部债务承担连带责任，则银行在抵押物价值不足时，有权直接要求担保人承担全部剩余债务的清偿责任。
- 举例：若担保合同中约定“担保人对借款人的全部债务承担连带责任”，则银行在抵押物价值不足时，可直接要求担保人清偿剩余债务。
一般保证与连带责任保证的区别：
- 若担保合同中未明确约定担保方式，则根据《中华人民共和国民法典》的规定，担保人承担的是一般保证责任。在一般保证中，银行需先向借款人（或其继承人）追偿，不足部分才能向担保人追偿。但若借款人死亡且无遗产可供执行，或遗产不足以清偿债务，银行可直接要求担保人承担清偿责任。
- 举例：若担保合同中未约定担保方式，且借款人死亡后无遗产或遗产不足以清偿债务，则银行可直接要求担保人承担清偿责任。
三、子女车产的影响
子女车产与债务清偿的无关性：
- 借款人的子女作为独立的法律主体，其车产与借款人的债务清偿无关。银行无权直接要求借款人的子女用车产来清偿借款人的债务。
- 举例：若借款人死亡后，其子女拥有车产，但银行不能直接要求子女用车产来清偿借款人的债务，除非子女自愿承担或继承了借款人的遗产并同意清偿。
继承与债务清偿的关系：
- 若借款人的子女继承了借款人的遗产，则根据《中华人民共和国民法典》的规定，继承人在继承遗产的范围内承担清偿被继承人债务的责任。但此责任仅限于继承遗产的范围内，且不影响银行对抵押物的优先受偿权。
- 举例：若借款人死亡后，其子女继承了房产（但该房产已抵押给银行），则子女需在继承房产的范围内承担清偿债务的责任。但银行仍可优先就抵押房产进行处置以清偿债务。
四、实际操作建议
银行应首先评估抵押房产的价值：
- 银行在借款人死亡后，应首先评估抵押房产的价值，以确定是否需要向担保人追责。
与担保人协商或提起诉讼：
- 若抵押房产价值不足，银行应与担保人协商清偿剩余债务的事宜。若协商不成，银行可依法向法院提起诉讼，要求担保人承担清偿责任。
关注继承情况：
- 银行还应关注借款人的继承情况，若借款人的子女继承了遗产并同意清偿债务，银行可与子女协商清偿事宜。
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