您有权要求私人厂补足工资差额，并可通过协商、投诉或劳动仲裁等途径维权。以下是具体分析和建议：

1. 未签合同不影响工资主张
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过1个月未签书面合同的，需支付双倍工资差额（最多11个月）。但您当前的核心诉求是工资差额，即使未签合同，只要存在事实劳动关系（如考勤记录、工资转账记录、工作证等），您仍有权要求足额支付工资。

2. 维权步骤建议

   • 第一步：收集证据
     重点收集能证明劳动关系和工资标准的材料，例如：

     • 工资条、银行流水（显示工资发放记录）；
       
     • 考勤记录（如打卡记录、加班审批单）；
       
     • 工作证、工服、工作群聊天记录；
       
     • 同事证言（需注意证人出庭作证的可能性）。
       

   • 第二步：与老板协商
     直接向老板说明工资少发的情况，要求补足差额。协商时建议书面沟通（如微信、邮件），保留沟通记录作为后续证据。

   • 第三步：向劳动监察部门投诉
     若协商无果，可向当地劳动保障监察大队投诉（可通过12333热线查询地址）。投诉时需提交：

     • 身份证复印件；
       
     • 证据材料（如上述列举）；
       
     • 投诉书（写明单位名称、地址、负责人、诉求等）。
       监察部门会介入调查，责令单位限期整改。

   • 第四步：申请劳动仲裁
     若投诉未解决，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁（需在纠纷发生后1年内提出）。仲裁请求可包括：

     • 要求支付工资差额；
       
     • 若符合条件，可一并主张未签合同的双倍工资差额；
       
     • 要求补缴社保（若单位未缴纳）。
       仲裁裁决具有法律效力，单位拒不履行可申请法院强制执行。

3. 注意事项

   • 时效性：劳动仲裁需在纠纷发生后1年内提出，建议尽快行动；
     
   • 证据完整性：证据越充分，维权成功率越高，尽量收集多类证据形成链条；
     
   • 避免主动离职：若单位以“未签合同”为由解雇您，可能涉及违法解除，需主张赔偿金（2N个月工资），但需根据具体情况判断。

行动建议：先与老板协商并保留书面记录，若未解决，立即携带证据向劳动监察部门投诉或申请仲裁。如有疑问，可进一步向我描述具体情况（如工资差额金额、工作时长等），我会帮您分析证据和维权策略。