双方打架打伤的费用问题，确实与公安机关有一定的关联，但具体处理方式和责任归属需根据实际情况来判断。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
公安机关的职责范围：
- 公安机关在接到打架斗殴的报警后，会迅速出警，制止暴力行为，并调查事件经过。
- 如果打架行为造成了人身伤害，公安机关会依法对涉事人员进行询问、取证，并根据伤情鉴定结果，决定是否立案侦查。
- 在处理过程中，公安机关会关注伤者的医疗费用等损失情况，但这并不意味着公安机关会直接承担这些费用。
费用承担的原则：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。
- 在打架斗殴事件中，如果一方被认定为侵权方（即打人者），那么该方应当承担伤者的上述费用。
- 如果双方都有过错，那么可能需要根据各自的过错程度来分担费用。
公安机关在费用问题上的作用：
- 公安机关在调查过程中，会收集相关证据，包括医疗费用单据、证人证言等，这些证据在后续的民事赔偿诉讼中可能起到关键作用。
- 如果双方无法就费用问题达成一致，伤者可以向人民法院提起民事诉讼，要求侵权方承担赔偿责任。此时，公安机关的调查结果和证据将作为法院审理案件的重要依据。
- 在某些情况下，如果打架行为涉嫌犯罪（如故意伤害罪），公安机关会依法追究犯罪嫌疑人的刑事责任。在刑事诉讼过程中，伤者也可以提起附带民事诉讼，要求犯罪嫌疑人赔偿损失。
实际建议：
- 如果您或他人遭遇了打架斗殴事件并造成了人身伤害，建议立即报警并保留好相关证据（如医疗费用单据、照片、视频等）。
- 在等待公安机关处理的同时，您可以与对方协商赔偿事宜。如果协商无果，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。
- 在整个过程中，保持冷静和理性至关重要。避免采取过激行为或言语攻击，以免加重事态或给自己带来不必要的麻烦。
总结来说，双方打架打伤的费用问题虽然与公安机关有关联，但具体处理方式和责任归属需根据实际情况和法律规定来判断。如果您或他人遭遇了此类事件，建议及时报警并寻求法律帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。