结论：在仲裁费已经由一方支付并开票，而判决另一方承担部分费用的情况下，通常需要就判决另一方承担的部分重新开票，但具体是否需要开票还需根据实际情况和税务部门的要求来确定。

分析说明：

1. 发票的基本功能：发票是财务收支的法定凭证，是会计核算的原始依据，也是审计机关、税务机关执法检查的重要依据。在仲裁费支付和承担的过程中，发票作为支付和承担费用的直接证据，对于双方来说都是非常重要的。

2. 仲裁费支付与开票：当一方已经支付了全部仲裁费并开具了发票时，这张发票通常反映了该方对仲裁费用的实际支出。然而，如果后续判决另一方需要承担部分费用，那么这部分费用在财务上需要有一个明确的记录和凭证。

3. 判决另一方承担部分费用的开票问题：

   • 从财务和税务的角度：判决另一方承担的部分费用，实际上是对原支付方的一种补偿或分担。为了确保财务记录的准确性和税务合规性，通常需要就这部分费用重新开具发票或进行其他形式的财务处理。
   • 从实际操作的角度：如果原发票已经包含了全部仲裁费用，并且无法直接从中分割出另一方应承担的部分，那么重新开票可能是更直接和清晰的方式。当然，如果双方能够协商一致，也可以通过其他方式（如签订补充协议、进行财务调整等）来处理这部分费用，但这些方式都需要确保符合相关法律法规和财务制度的要求。

4. 特殊情况考虑：在某些特殊情况下，如果双方对仲裁费的承担有明确的约定，并且这种约定得到了仲裁机构或法院的认可，那么可能不需要就判决另一方承担的部分重新开票。然而，这种情况相对较少见，并且需要严格的法律程序和证据支持。

行动建议：

• 与对方协商：首先，建议双方就仲裁费的承担问题进行协商，明确各自应承担的费用和开票方式。
• 咨询税务部门：如果双方对开票问题存在争议或不确定如何处理，可以咨询当地税务部门或专业税务顾问的意见。
• 保留相关证据：无论是否需要重新开票，双方都应保留好与仲裁费支付和承担相关的所有证据和文件，以备不时之需。

法律后果提示：

如果未能按照法律法规和财务制度的要求处理仲裁费的承担和开票问题，可能会面临税务违规、财务记录不准确等法律后果。因此，建议双方务必谨慎处理这一问题，确保符合相关法律法规和财务制度的要求。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。