在二审中对方逾期举证且证据突袭，二审法院未罚款的情况下，向高院申请再审时一般不能直接请求对对方罚款，但可针对逾期举证行为作为再审理由提出，由高院审查后决定是否启动再审程序，若启动再审且认定对方存在故意逾期举证等违规行为，高院可依职权作出处罚决定。以下从不同角度详细分析：

从再审申请的请求事项角度

再审申请主要是针对原审判决、裁定存在的法定再审事由，请求高级人民法院对案件进行重新审理，以纠正可能存在的错误判决或裁定。罚款属于对诉讼参与人违反诉讼程序规定的一种制裁措施，并非再审申请直接针对的实体或程序错误内容。再审申请的核心在于审查原审判决、裁定是否符合《民事诉讼法》规定的再审情形，如证据是否确实充分、法律适用是否正确、程序是否合法等，而不是直接要求对对方进行罚款。所以，在再审申请中，通常不能将请求对对方罚款作为一项独立的请求事项提出。

从逾期举证与再审事由的关联角度

如果对方在二审中逾期举证的行为违反了《民事诉讼法》及相关司法解释关于举证期限的规定，且该逾期举证的证据对案件的基本事实认定、裁判结果有重大影响，足以影响案件的公正判决，那么这一行为可能构成《民事诉讼法》规定的再审事由之一，即“原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的”或者“违反法律规定，剥夺当事人辩论权利的”等类似情形（具体需结合逾期举证的具体情况判断）。在这种情况下，你可以以对方逾期举证影响案件公正判决为由，向高级人民法院申请再审。高级人民法院在审查再审申请时，会重点审查对方逾期举证的行为是否符合再审事由，若符合，则可能裁定再审。

从再审程序中对逾期举证的处理角度

若高级人民法院裁定再审，在再审审理过程中，法院会重新审查对方逾期举证的行为。如果认定对方存在故意逾期举证、恶意证据突袭等违反诉讼程序规定的行为，且该行为干扰了正常的诉讼秩序、影响了案件的公正审理，法院可以依据《民事诉讼法》的相关规定，对对方采取罚款等制裁措施。罚款的数额会根据对方的过错程度、造成的后果等因素，在《民事诉讼法》规定的幅度内确定。

建议：在向高级人民法院申请再审时，要详细阐述对方逾期举证的具体情况，包括举证的时间、证据的内容、对案件的影响等，并提供相关证据证明对方存在故意逾期举证的行为，以提高再审申请被受理和裁定的可能性。如果你还有其他关于诉讼程序或证据方面的问题，欢迎继续向我咨询。