结论前置：若一方不支付赡养费（在婚姻家庭领域中，通常指抚养费，这里我们按照用户问题中的“赡养费”在婚姻家庭纠纷语境下理解为抚养费进行解答），另一方完全有权以子女的名义向法院提起诉讼，要求对方履行支付义务。
一、法律依据
根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条的规定：
离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。
这一条款明确规定了不直接抚养子女的一方有支付抚养费的法定义务，同时，也赋予了子女在必要时向父母任何一方提出增加抚养费要求的权利。
二、起诉条件与流程
起诉条件：
- 存在有效的抚养费约定或判决：无论是离婚协议中约定的抚养费，还是法院判决确定的抚养费，都是起诉的依据。
- 对方未履行支付义务：即对方未按照约定或判决的时间、金额支付抚养费。
- 有明确的被告：知道对方的姓名、住址等基本信息，以便法院能够送达法律文书。
- 属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖：抚养费纠纷属于民事案件，应向有管辖权的人民法院提起诉讼。
起诉流程：
- 准备材料：包括起诉状（应写明原告、被告身份信息、诉讼请求、事实与理由）、证据材料（如离婚协议、法院判决书、对方未支付抚养费的证明等，如银行转账记录、聊天记录等）。
- 向法院提起诉讼：将准备好的材料提交给有管辖权的人民法院，并缴纳诉讼费。
- 法院审理：法院会对案件进行审理，包括开庭审理、调解等环节。如果双方能够达成调解协议，法院会制作调解书；如果无法达成调解协议，法院会依法作出判决。
- 执行判决：如果对方仍然不履行支付抚养费的义务，可以向法院申请强制执行。
三、特殊情况的处理
- 经济困难：如支付抚养费的一方确实存在经济困难，无法按照原定标准支付，双方可以协商调整抚养费的数额。若协商不成，支付抚养费的一方也可以向法院起诉，请求变更抚养费的数额。法院会综合考虑双方的经济状况、子女的实际需要等因素，作出合理的判决。
- 增加抚养费：若原判决或调解书确定的抚养费数额不足以维持子女生活，或子女因患病、上学等实际需要已超过原定数额，直接抚养方也可以再次起诉要求增加抚养费。
四、法律后果
- 强制执行：若对方在法院判决后仍不履行支付义务，权利人可以向法院申请强制执行。法院有权采取多种强制执行措施，如查询、冻结、划拨其存款；扣留、提取其收入；查封、扣押、拍卖、变卖其财产等。
- 信用记录影响：拒不支付抚养费的行为可能影响个人信用记录，一旦进入失信被执行人名单，将在出行、贷款、高消费等方面受到限制。
- 刑事责任：若有能力执行而拒不执行法院判决、裁定，情节严重的，还可能构成拒不执行判决、裁定罪，被依法追究刑事责任。
五、建议与指导
在起诉过程中，建议寻求专业律师的帮助，以确保案件准备的充分性和专业性。作为专业律师，我可以提供法律咨询，协助收集证据，撰写起诉状，提高胜诉的可能性，从而更好地维护自身和孩子的权益。如果你有任何关于婚姻家庭领域的法律问题，都可以直接向我咨询。