结论前置：给了父母赡养费后，如果后续出现未继续支付或支付不足等不履行赡养义务的情况，父母仍然有权起诉子女要求支付赡养费。

一、法律依据与权利基础

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，特别是第二十六条和第一千零六十七条，明确指出成年子女对父母负有赡养、扶助和保护的义务。当子女不履行此义务，导致父母生活困难或缺乏劳动能力时，父母有权利要求子女给付赡养费。此外，《民法典》第一百九十六条还规定，请求支付赡养费的权利不受诉讼时效的限制，这意味着无论何时，只要子女未履行赡养义务，父母都可以依法提起诉讼。

二、起诉条件与程序

1. 主体条件：

   • 提起诉讼的父母需满足缺乏劳动能力或生活困难的条件。
   • 被告为成年子女，包括亲生子女、养子女及有抚养关系的继子女。

2. 事实条件：

   • 父母需证明子女存在不履行赡养义务的具体事实，如长期不支付生活费、不照顾生病父母等。即便之前给过赡养费，但如果后续未继续支付或支付不足，也构成不履行赡养义务。

3. 程序条件：

   • 父母应向有管辖权的人民法院提交起诉状及相关证据。通常，案件由被告住所地人民法院管辖；若被告住所地与经常居住地不一致，则由经常居住地人民法院管辖。

三、赡养费的确定因素

法院在确定赡养费数额时，会综合考虑以下关键因素：

• 子女的经济状况：包括收入、财产等，以确定其承担能力。
• 父母的实际需求：如日常生活费用、医疗费用等。特别是患有严重疾病的父母，可能需要更高的赡养费。
• 当地的生活水平：参考当地的生活成本，以确保父母能维持基本生活水平。

四、诉讼过程中的注意事项

1. 证据收集：

   • 父母在起诉前应尽可能收集相关证据，以证明子女未履行赡养义务。这些证据包括但不限于：证明亲子关系的证据（如出生证明、户口本等）、父母生活困难或无劳动能力的证据（如收入证明、医疗费用单据、残疾证明等）、子女未履行赡养义务的证据（如通信记录、银行转账记录显示无赡养费用支付等）。

2. 法律咨询与代理：

   • 在诉讼过程中，父母可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到充分保护。律师可以提供法律咨询、准备证据材料、代表父母进行诉讼等服务。

五、其他解决途径

除了诉讼外，父母还可以选择向人民调解委员会或其他有关组织申请调解，以寻求更加温和、高效的解决方式。调解作为一种非诉讼的纠纷解决机制，具有程序简便、成本较低、效率较高的优势，有助于维护家庭和谐与稳定。

总结与建议：给了父母赡养费后，如果子女后续未继续履行赡养义务，父母仍然有权起诉子女要求支付赡养费。在起诉前，父母应做好充分的证据收集工作，并可以考虑寻求专业律师的帮助。同时，也可以尝试通过调解等非诉讼方式解决纠纷，以维护家庭和谐与稳定。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。