结论前置：针对一方未支付抚养费，另一方已进行垫付的情况，主张权利的法律依据主要来源于《中华人民共和国民法典》中关于婚姻家庭编的相关规定。以下是从不同角度对此问题的详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条：“离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。” 这意味着，如果一方未按照协议或判决支付抚养费，直接抚养子女的一方有权要求其支付，并且，在必要时，子女也有权要求增加抚养费。
   • 当直接抚养子女的一方已经垫付了抚养费时，其有权向未支付抚养费的一方追偿。这种追偿权是基于双方之间的法律关系（如离婚协议、法院判决等）以及公平原则产生的。

2. 追偿方式：

   • 协商：首先，双方可以尝试通过协商的方式解决。直接抚养子女的一方可以与未支付抚养费的一方沟通，说明情况，并要求其支付已垫付的抚养费。
   • 诉讼：如果协商无果，直接抚养子女的一方可以向人民法院提起诉讼，要求未支付抚养费的一方支付已垫付的抚养费。在诉讼过程中，需要提供相关证据，如离婚协议、法院判决、垫付抚养费的凭证等。

3. 法律后果：

   • 如果未支付抚养费的一方被法院判决支付已垫付的抚养费，但其仍然拒不支付，那么直接抚养子女的一方可以申请法院强制执行。法院有权采取多种强制执行措施，如查封、扣押、拍卖财产等，以确保判决得到履行。
   • 此外，未支付抚养费的一方还可能面临法律上的不利后果，如被列入失信被执行人名单、限制高消费等，这将对其实施信用惩戒，影响其日常生活和经营活动。

4. 实际操作建议：

   • 在垫付抚养费时，建议直接抚养子女的一方保留好相关凭证，如转账记录、收据等，以便在需要时作为证据使用。
   • 如果发现对方未支付抚养费，应及时与对方沟通并尝试协商解决。如果协商无果，应尽快向法院提起诉讼，以维护自己和子女的合法权益。

进一步思考：在实际操作中，每个案件的具体情况都有所不同，因此，在处理此类纠纷时，应充分考虑案件的具体情况，如双方的收入状况、子女的实际需要等，以确保判决的公正性和合理性。如果您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。