结论：在自家的狗被别家狗咬伤且对方已赔偿医药费的情况下，是否还能要求其他赔偿，这主要取决于是否产生了除医药费以外的其他实际损失或精神损害。如果存在，则可以进一步要求赔偿；如果不存在，则通常不能。
分析：
其他实际损失：
- 误工费：如果因照顾受伤的狗而影响了您的工作，导致收入减少，您可以要求对方赔偿误工费。计算方式通常是根据您实际减少的收入来计算，如果有固定收入，则按实际减少的收入计算；无固定收入则按最近三年平均收入计算；若无法举证，则参照受诉法院所在地相同或相近行业上一年度职工的平均工资计算。
- 护理费：如果受伤的狗需要特别的护理，如请专人照顾或送至宠物医院进行特殊护理，由此产生的费用也可以要求对方赔偿。计算方式根据护理人员收入状况、护理人数和护理期限确定。
- 交通费：因带狗就医治疗而产生的交通费用，如打车费、油费等，也可以要求对方赔偿。计算方式按照实际发生的费用计算，以正式票据为凭，并与就医地点、时间、人数、次数相符合。
- 营养费：如果医生认为受伤的狗需要补充营养以促进恢复，由此产生的营养费用也可以要求对方赔偿。这通常需要根据医疗机构的意见来确定。
精神损害抚慰金：
- 如果此次事件对您的精神造成了严重损害，如产生了心理阴影、焦虑、抑郁等情绪问题，且这些情绪问题与狗被咬伤的事件有直接关联，您可以考虑要求对方赔偿精神损害抚慰金。赔偿数额会根据侵权人的过错程度、侵害手段、场合、行为方式、侵权行为后果、侵权人获利情况、承担责任的经济能力以及受诉法院所在地平均生活水平等因素确定。但需要注意的是，精神损害抚慰金的赔偿通常较为严格，需要充分的证据来支持您的主张。
无需额外赔偿的情形：
- 如果狗被咬伤后，经过简单处理并无其他后续影响，且未产生上述的误工、护理、交通、营养等方面的额外支出，也未造成精神损害，那么在对方已经支付了医药费后，您通常无法再要求其他赔偿。
建议：
- 在处理此类事件时，建议您首先与对方进行友好协商，明确各项损失和赔偿金额。
- 如果协商无果，您可以考虑通过法律途径来解决争议。在此过程中，保留好所有相关的证据，如医疗记录、费用票据、照片或视频等，以便在需要时提供证明。
- 如果您对具体的赔偿项目或计算方式有疑问，或者需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供专业的法律意见和帮助。