未签订劳动合同且被工厂辞退的情况下，你仍然有权通过法律途径维护自己的合法权益，包括要求工厂支付未签合同的双倍工资差额以及违法解除劳动合同的赔偿金。以下是从不同角度为你详细分析的维权步骤和建议：
一、确定劳动关系存在
尽管未签订书面劳动合同，但你可以通过收集一系列证据来证明与工厂之间存在事实劳动关系。这些证据包括但不限于：
- 工资支付记录：如银行转账明细、工资条等，这些记录应显示工厂名称、支付时间及金额，能够直接证明你与工厂之间的经济往来。
- 工作证件：包括工作证、服务证等，这些证件上通常印有工厂名称及你的个人信息，是证明你与工厂存在劳动关系的有力证据。
- 考勤资料：无论是纸质还是电子考勤表，都能证明你的工作时间及出勤情况，进一步佐证你与工厂之间的劳动关系。
- 同事证言：其他劳动者的陈述可以侧面证实你在工厂工作的事实，尤其是在没有直接证据的情况下，同事证言可以成为重要的辅助证据。
- 工作文件：如工作任务单、业务合同、邮件往来等，这些文件能够体现你的工作内容及项目参与情况，是证明你与工厂存在劳动关系的关键证据。
二、明确可主张的权益
在确认与工厂存在劳动关系后，你可以根据相关法律法规主张以下权益：
双倍工资：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，你有权要求工厂支付自用工之日起满一个月的次日至补订书面劳动合同前一日期间的双倍工资差额，最多可主张11个月。
赔偿金：如果工厂违法解除劳动关系，如未提前通知或无合理理由辞退你，你可以要求工厂支付赔偿金。赔偿金的标准为经济补偿的二倍，经济补偿按你在工厂的工作年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向你支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
三、维权途径
在明确了可主张的权益后，你可以通过以下途径来维护自己的合法权益：
与工厂协商解决：
- 这是首选的维权方式，你可以尝试与工厂进行协商，要求恢复工作或获取相应的补偿。
- 在协商过程中，务必保留好聊天记录、通话录音等证据，以备后续使用。
向劳动监察部门投诉：
- 如果协商无果，你可以向当地劳动监察大队提交投诉，携带工作证明等相关材料。
- 劳动监察部门将会对工厂进行调查，并责令其改正违法行为。
申请劳动仲裁：
- 如果投诉未能解决问题，你可以向工厂所在地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
- 在申请仲裁时，需要提交仲裁申请书、身份证复印件及相关证据材料。
- 劳动争议仲裁委员会将安排庭审，并根据双方证据作出裁决。注意仲裁时效为一年，自你知道或应当知道权利被侵害之日起计算。
提起诉讼：
- 如果对劳动仲裁结果不满意，你可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
- 法院将对案件进行审理，并依法作出判决。
四、注意事项
- 保持冷静，理性维权：在整个维权过程中，务必保持冷静和理性，遵循法律程序进行维权，避免采取过激行为。
- 证据收集与保存：务必妥善保管所有相关证据，包括工资支付记录、工作证件、考勤资料等，确保在需要时能够有力证明自己的主张。
- 及时行动：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从你知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，务必及时采取行动维护自己的权益。
综上所述，即使未签订劳动合同被辞退，你也完全有权利并有能力通过法律途径维护自身合法权益。重要的是要熟悉相关法律知识，积极采取行动，并保留好所有必要的证据。如果你在此过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。