责令履职申请书寄出后，您需要关注后续的跟进与处理，具体步骤如下：

1. 确认送达情况：

   • 首先，您需要确认申请书是否已经成功送达至相关行政机关或责任单位。这通常可以通过查询快递物流信息、要求快递公司提供签收证明，或者直接联系接收单位确认收到情况来完成。
   • 如果申请书未能成功送达，您需要重新寄送或采取其他送达方式，如电子邮件、传真（如果接收单位接受）或直接送达，并确保有送达的证据。

2. 等待回复与处理：

   • 送达后，您需要耐心等待接收单位的回复。根据相关法律法规，行政机关或责任单位在收到责令履职申请书后，通常需要在一定期限内（如30日、60日等，具体期限根据法律法规或地方规定而定）作出答复或处理。
   • 在等待期间，您可以准备相关证据材料，以备接收单位要求补充或核实信息时使用。

3. 跟进与催促：

   • 如果接收单位在规定期限内未作出答复或处理，您可以采取跟进措施，如电话联系、发送催促函或再次寄送申请书（并注明为催促处理之用）。
   • 在跟进过程中，保持礼貌与专业，明确表达您的诉求和期望的处理时间。

4. 考虑法律途径：

   • 如果接收单位拒绝履行职责或长期不作出处理，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。这可能包括提起行政复议、行政诉讼或寻求其他法律救济措施。
   • 在决定采取法律途径前，建议您咨询专业律师（虽然这里我本身就是律师，但强调一下，您可以直接向我咨询相关法律问题），以评估案件的可行性、风险及预期结果。

5. 记录与保存证据：

   • 在整个过程中，务必记录所有与接收单位的沟通记录、寄送申请书的凭证、回复文件等，这些都将作为后续可能法律程序中的重要证据。
   • 保存好所有相关文件的原件或复印件，并确保它们的完整性和可读性。