结论：农户养的狗死掉后随意丢弃在路边，这一行为可能违法，具体应由当地的动物卫生监督机构或城市管理部门负责管理。

分析说明：

1. 违法性分析：

   • 公共卫生安全：随意丢弃动物尸体可能引发公共卫生问题，如疾病传播、环境污染等。根据《中华人民共和国动物防疫法》的相关规定，动物尸体应当按照国家有关规定进行无害化处理，不得随意丢弃。因此，农户的行为可能违反了该法律的规定。
   • 环境保护：从环境保护的角度来看，随意丢弃动物尸体也可能对环境造成污染，违反了环境保护的相关法律法规。

2. 执法部门分析：

   • 动物卫生监督机构：根据《中华人民共和国动物防疫法》的规定，动物卫生监督机构负责动物、动物产品的检疫和其他有关动物防疫的监督管理执法工作。因此，对于随意丢弃动物尸体的行为，动物卫生监督机构有权进行查处。
   • 城市管理部门：在城市区域，随意丢弃动物尸体也可能违反了城市市容和环境卫生管理的相关规定。因此，城市管理部门也有权对这类行为进行管理和处罚。

法律建议：

• 农户：应当遵守相关法律法规，对死掉的狗进行无害化处理，如深埋、焚烧等，以避免引发公共卫生问题和环境污染。
• 发现者：如果发现有人随意丢弃动物尸体，可以向当地的动物卫生监督机构或城市管理部门举报，以便相关部门及时进行处理。

后续行动与可能后果：

• 农户：如果农户未按照规定处理动物尸体，可能会面临行政处罚，如罚款等。同时，如果其行为引发了公共卫生问题或环境污染，还可能承担相应的民事责任或刑事责任。
• 执法部门：执法部门在接到举报后，应当及时进行调查处理，对违法行为进行查处，以维护公共卫生安全和环境保护的秩序。

如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。