结论：在建工程抵押的工程竣工后，若未重新办理抵押登记，抵押权人原则上继续享有抵押权，但抵押权的效力范围通常仅限于已办理抵押登记的部分，即原在建工程中已完工且办理了抵押登记的部分，一般不包括后续建设部分。不过，具体是否享有抵押权还需结合抵押合同的具体约定以及实际情况综合判断。

法律背景与依据

1. 《中华人民共和国民法典》第三百九十五条：明确规定了正在建造的建筑物可以抵押，且抵押权自登记时设立。这表明，在建工程抵押权的设立依赖于登记这一形式要件。

2. 《城市房地产抵押管理办法》第三十四条：规定以预售商品房或者在建工程抵押的，登记机关应当在抵押合同上作记载。抵押的房地产在抵押期间竣工的，当事人应当在抵押人领取房地产权属证书后，重新办理房地产抵押登记。这一规定强调了竣工后重新办理抵押登记的重要性，但并未直接说明未重新办理抵押登记的后果。

3. 《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉有关担保制度的解释》第五十一条：明确指出，当事人以正在建造的建筑物抵押，抵押权的效力范围限于已办理抵押登记的部分。对于续建部分和新增建筑物，除非双方有特别约定，否则抵押权人原则上不享有抵押权。

深度分析

• 抵押权的效力范围：根据上述法律规定，抵押权的效力范围通常限于已办理抵押登记的部分。因此，对于在建工程抵押后新增的后续建设部分，由于未办理抵押登记，抵押权人原则上不享有抵押权。

• 抵押合同的约定：虽然法律规定了抵押权的一般效力范围，但抵押合同双方仍可以通过特别约定来扩大或限制抵押权的效力范围。因此，如果抵押合同中明确约定了抵押权效力及于后续建设部分，那么抵押权人可能根据合同约定享有相应的抵押权。不过，这种约定需要符合法律法规的强制性规定，且不得损害第三人的合法权益。

• 实际操作中的建议：

  1. 及时沟通：抵押人与抵押权人应及时沟通，了解竣工情况和后续处理事宜，确保双方对抵押权的效力范围有清晰的认识。
  2. 补充协议：如有必要，双方可签订补充协议，明确抵押权的延续和具体条款，特别是针对后续建设部分的抵押权问题。
  3. 重新办理抵押登记：为了确保抵押权的明确性和有效性，抵押人应在工程竣工后及时办理房地产抵押登记，将原在建工程抵押权登记转为建筑物抵押权登记。

可能的法律后果

• 如果未重新办理抵押登记：抵押权人可能面临无法对后续建设部分行使抵押权的风险。在债务人无法履行债务时，抵押权人可能无法就后续建设部分优先受偿。

• 如果重新办理了抵押登记：抵押权人将继续享有抵押权，且抵押权的效力范围将明确包括已竣工的建筑物部分。这有助于保障抵押权人的合法权益，降低债务风险。

综上所述，对于在建工程抵押后续建设部分是否具有抵押权的问题，需要结合法律规定、抵押合同约定以及实际情况综合判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。