结论：农药毒死邻居家的牛可能构成的犯罪及法律责任需根据行为人的动机、情节以及牛的性质等因素综合判断，可能涉及故意毁坏财物罪、破坏生产经营罪或投放危险物质罪。

1. 故意毁坏财物罪

   • 适用情形：如果行为人出于泄愤、报复等动机，故意使用农药毒死邻居家的牛，且牛的价值达到一定标准（通常五千元以上），则构成故意毁坏财物罪。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国刑法》第二百七十五条的规定，故意毁坏公私财物，数额较大或者有其他严重情节的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；数额巨大或者有其他特别严重情节的，处三年以上七年以下有期徒刑。

2. 破坏生产经营罪

   • 适用情形：如果毒死的牛是农业生产中的役牛，如耕牛，且该行为影响了邻居正常的农业生产经营活动，则可能构成破坏生产经营罪。
   • 法律依据：依据《中华人民共和国刑法》第二百七十六条的规定，由于泄愤报复或者其他个人目的，毁坏机器设备、残害耕畜或者以其他方法破坏生产经营的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；情节严重的，处三年以上七年以下有期徒刑。

3. 投放危险物质罪

   • 适用情形：如果行为人在公共牧场、水源地等公共场所投毒，导致邻居家的牛死亡，且该行为具有危害不特定多数人的生命、健康以及重大公私财产安全的危险性，则构成投放危险物质罪。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国刑法》第一百一十四条的规定，投放毒害性、放射性、传染病病原体等物质或者以其他危险方法危害公共安全，尚未造成严重后果的，处三年以上十年以下有期徒刑；第一百一十五条进一步规定了致人重伤、死亡或使公私财产遭受重大损失时的更重刑罚。

其他可能的法律后果：

• 民事赔偿责任：如果行为人因管理不善等过失行为导致邻居家的牛被毒死，虽不构成犯罪，但可能需承担民事赔偿责任，赔偿邻居的经济损失。
• 治安管理处罚：如果毒死牛的行为虽不构成犯罪，但属于违法行为，如故意损毁公私财物且数额不大，行为人可能面临治安管理处罚。
• 行政处罚：如果行为人在毒死牛的过程中违反了农药管理等相关规定，还可能面临相关行政部门的处罚。

建议：

• 在遇到此类情况时，建议及时报警，以便警方进行调查并确定行为人的法律责任。
• 保留好相关证据，如现场照片、视频、证人证言等，以便在后续的法律程序中维护自己的合法权益。
• 如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律意见。