投放农药致使牲畜死亡，可能构成以下罪名：
故意毁坏财物罪：如果行为人故意投放农药以毁坏他人财物（包括牲畜），且牲畜的价值数额较大或者有其他严重情节，那么该行为可能构成故意毁坏财物罪。此罪要求行为人主观上具有毁坏财物的故意，客观上实施了毁坏财物的行为，并且毁坏的对象是他人的财物，且数额较大或有其他严重情节。
投放危险物质罪：如果行为人投放的农药具有毒害性、放射性、传染病病原体等物质，且该行为危害了公共安全，即可能危及不特定多数人的生命、健康和重大公私财产安全，那么该行为可能构成投放危险物质罪。此罪是重罪，要求行为人主观上明知自己的行为会危害公共安全，仍然故意实施该行为。
在判断具体构成何罪时，需要综合考虑行为人的主观故意、行为方式、行为对象、行为后果以及社会危害性等因素。如果行为人只是出于报复、泄愤等个人目的，针对特定的牲畜投放农药，且没有危及公共安全，那么可能更倾向于构成故意毁坏财物罪。如果行为人投放的农药具有广泛的危害性，且可能危及不特定多数人的生命、健康和重大公私财产安全，那么可能构成投放危险物质罪。
请注意，以上分析仅基于一般的法律原则和假设情景，并不能替代具体的法律判断。在实际案件中，还需要根据具体的案情和证据来综合判断。如果你有相关法律问题，可以直接向我咨询。