结论：第二次固定期限劳动合同到期后，公司不续签是否需要支付赔偿金，取决于具体情况。一般情况下，公司需支付经济补偿；若符合签订无固定期限劳动合同的条件而公司拒绝续签，则需支付双倍赔偿。以下是对此问题的详细分析：
一、一般情况下的经济补偿
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条和第四十六条的规定，劳动合同期满且用人单位未维持或提高劳动合同约定条件续订时，劳动合同终止，用人单位应向劳动者支付经济补偿。经济补偿的标准为：
- 按劳动者在本单位工作的年限：每满一年支付一个月工资；
- 六个月以上不满一年的：按一年计算；
- 不满六个月的：支付半个月工资。
这里的“月工资”指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。计算公式为：
[ \text{经济补偿} = \text{工作年限} \times \text{月工资} ]
举例：若劳动者在公司工作了5年6个月，月工资为8000元，则经济补偿为：
[ 5.5 \times 8000 = 44000 \text{元} ]
二、双倍赔偿的情形
特定情况下，用人单位需支付双倍赔偿。这主要发生在以下情形：
符合无固定期限劳动合同条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条第二款，若劳动者已连续订立二次固定期限劳动合同且无相关过错（如连续工作满十年、初次实行劳动合同制度或国有企业改制时连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年等），且提出或同意续订劳动合同，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
- 此时，若用人单位拒绝续签并终止劳动合同，则属于违法解除劳动合同。
违法解除的后果：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或终止劳动合同的，应依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 计算公式为：
[ \text{双倍赔偿} = 2 \times \text{经济补偿} ]
举例：若劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件，且经济补偿为44000元，则双倍赔偿为：
[ 2 \times 44000 = 88000 \text{元} ]
三、综合判断与证据收集
判断是否满足无固定期限劳动合同条件：
- 这是确定是否需支付双倍赔偿的关键。劳动者应了解自己的工作年限、合同次数及是否存在其他特殊条件。
证据的收集与保留：
- 劳动者在主张权益时，应收集并保留好相关证据，如劳动合同、工资条、工作记录、续签请求记录等，以证明自己的工作年限、工资水平及用人单位的违法行为。
四、其他注意事项
劳动者自身过错：
- 若劳动者存在严重违反用人单位规章制度等法定过错情形，导致用人单位不续签合同的，可能无法获得经济补偿或双倍赔偿。
协商与仲裁途径：
- 面对不续签合同的情况，劳动者可首先尝试与用人单位协商。协商无果时，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
五、建议
- 了解自身权益：劳动者应了解自己的工作年限、合同次数及是否存在其他特殊条件，以判断是否符合签订无固定期限劳动合同的条件。
- 及时主张权益：若用人单位拒绝续签合同，劳动者应及时主张自己的经济补偿或双倍赔偿权益。
- 保留证据：在主张权益过程中，劳动者应保留好相关证据，以便在劳动仲裁或诉讼中证明自己的主张。
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