结论前置：经济补偿金的支付并不完全取决于是否通知用人单位解除劳动关系，而是主要取决于解除劳动关系的具体原因和责任归属。以下是详细的分析和说明：
一、用人单位需支付经济补偿金的情形
劳动者被迫解除劳动合同：
- 当用人单位存在违法行为，如以暴力、威胁或非法限制人身自由的手段强迫劳动，或未按照劳动合同约定支付劳动报酬、提供劳动条件，以及克扣、无故拖欠工资等，迫使劳动者提出解除劳动合同时，无论是否提前通知，用人单位都必须支付经济补偿金。
协商解除劳动合同（用人单位主动提出）：
- 若用人单位主动与劳动者协商一致解除劳动合同，用人单位需承担支付经济补偿金的责任，这也与是否提前通知无直接关系，而是基于协商的结果。
用人单位非过失性辞退：
- 在劳动者患病、非因工负伤无法继续工作，或不能胜任工作经过培训调整仍不能胜任，以及劳动合同订立时的客观情况发生重大变化导致合同无法履行且未能就变更内容达成协议的情况下，用人单位提前通知或额外支付一个月工资后解除劳动合同，需支付经济补偿金。这里的“提前通知”是用人单位的义务，但经济补偿金的支付与劳动者是否通知解除劳动关系无关。
经济性裁员：
- 用人单位因企业破产法规定进行重整、生产经营发生严重困难、转产或技术革新等需要裁减人员，并且符合法定人数要求时，经向工会或全体职工说明情况并听取意见后，可以裁减人员，但需支付经济补偿金。这一过程中，经济补偿金的支付与劳动者是否通知解除劳动关系同样无关。
劳动合同期满终止：
- 除用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订而劳动者不同意的情况外，劳动合同期满终止时，用人单位需支付经济补偿金。这一规定也未涉及劳动者是否通知解除劳动关系。
用人单位主体资格丧失：
- 用人单位被依法宣告破产、吊销营业执照、责令关闭、撤销或决定提前解散时，劳动合同终止，用人单位需支付经济补偿金。这一情形下，经济补偿金的支付同样与劳动者是否通知解除劳动关系无关。
二、用人单位无需支付经济补偿金的情形
劳动者主动辞职：
- 劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位或在试用期内提前三日通知解除劳动合同，属于主动离职，用人单位无需支付经济补偿金。但这里的关键是劳动者的主动性和通知行为，而非用人单位是否通知解除劳动关系。
劳动者存在过错：
- 劳动者在试用期间不符合录用条件、严重违反用人单位规章制度、严重失职营私舞弊给用人单位造成重大损害、同时与其他用人单位建立劳动关系对完成本单位工作任务造成严重影响且拒不改正、因欺诈胁迫等手段使劳动合同无效、或被依法追究刑事责任等情况下，用人单位可以解除劳动合同且无需支付经济补偿金。这些情形下，经济补偿金的免除与劳动者的过错行为有关，与是否通知解除劳动关系无关。
三、总结与建议
总结：解除劳动关系时是否需要支付经济补偿金，关键在于判断解除的具体原因和责任归属。如果是用人单位的原因或责任导致劳动关系解除，通常需支付经济补偿金；而如果是劳动者自身原因或过错导致解除，则用人单位通常无需支付经济补偿金。是否通知解除劳动关系并不是决定经济补偿金支付与否的关键因素。
建议：在实际操作中，双方应依据相关法律法规进行协商和处理，以确保合法权益得到保障。如果劳动者认为用人单位应支付经济补偿金而未支付，或用人单位认为无需支付而劳动者坚持要求支付，双方可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径解决争议。
希望以上分析能对你有所帮助，如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。