结论：偷价值一千元手机被抓是否会留案底，取决于具体情形。若构成犯罪且被法院判决有罪，则会留案底；若不构成犯罪或虽构成犯罪但未被法院判决有罪，则不会留案底。

分析：

1. 构成犯罪的情形：

   • 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，盗窃公私财物，数额较大的，或者多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃的，构成盗窃罪。对于“数额较大”的标准，各地可能有所不同，但一般来说，一千元可能达到或超过某些地区的数额较大标准，从而构成犯罪。
   • 若构成犯罪，且被公安机关立案侦查，移送检察机关审查起诉，最终被法院判决有罪，那么就会留下案底，即刑事犯罪记录。

2. 不构成犯罪的情形：

   • 如果盗窃行为未达到数额较大的标准，或者存在其他不构成犯罪的情形（如情节显著轻微危害不大，不认为是犯罪），那么就不会构成犯罪。
   • 在这种情况下，即使被抓，也不会留下案底。但可能会受到行政处罚，如行政拘留、罚款等。

3. 构成犯罪但未被判决有罪的情形：

   • 即使盗窃行为构成犯罪，但如果存在法定不起诉、酌定不起诉或证据不足不起诉等情形，检察机关可能不会向法院提起公诉。
   • 或者，即使提起公诉，法院也可能因证据不足、情节轻微等原因判决无罪。
   • 在这些情况下，虽然行为人曾涉嫌犯罪，但并未被法院判决有罪，因此不会留下案底。

建议：

• 如果您或您身边的人涉嫌盗窃行为，建议尽快咨询专业律师，了解具体情形下的法律后果和应对策略。
• 无论是否构成犯罪，都应积极配合公安机关的调查工作，如实陈述事实，避免逃避或抗拒调查，以免加重法律后果。
• 如果确实构成犯罪且被法院判决有罪，应认真接受改造，争取早日回归社会，并努力消除犯罪记录带来的不良影响。

后续行动：

• 若您有进一步的法律问题或需要具体的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议和帮助。