结论：发现违法行为，当场调查取证完毕，一周后以当场处罚决定书进行行政处罚，这一行为在特定条件下是合法的，但也存在不合法的可能性，具体需结合实际情况判断。

分析：

1. 当场处罚的合法性基础：

   • 根据《中华人民共和国行政处罚法》的相关规定，对于违法事实确凿并有法定依据，对公民处以二百元以下、对法人或者其他组织处以三千元以下罚款或者警告的行政处罚的，可以当场作出行政处罚决定。这构成了当场处罚的合法性基础。

2. 当场调查取证与处罚决定的时间间隔：

   • 法律并未明确规定当场调查取证后必须立即作出处罚决定。因此，从时间间隔上看，一周后作出处罚决定并不直接违反法律规定。
   • 然而，关键在于这一周内是否发生了影响处罚决定合法性的因素，如证据灭失、当事人情况变化等。如果这一周内没有发生此类因素，且处罚决定仍然基于当场调查取证的证据，那么处罚决定在时间上仍然是合法的。

3. 处罚决定的程序要求：

   • 即使决定当场处罚，行政机关也必须遵循法定的程序要求，如告知当事人违法事实、处罚理由和依据，听取当事人的陈述和申辩，以及制作处罚决定书等。
   • 如果一周后作出的处罚决定书没有遵循这些程序要求，或者处罚决定书的内容与当场调查取证的证据不符，那么该处罚决定就是不合法的。

4. 特殊情况下的考虑：

   • 在某些特殊情况下，如违法行为涉及公共安全、人身健康等紧急情况，行政机关可能需要更迅速地作出处罚决定。然而，这并不意味着可以忽视程序要求或证据的真实性。
   • 如果一周后作出处罚决定是因为需要进一步调查或核实证据，且这一调查或核实是必要的且合理的，那么该处罚决定在程序上仍然是合法的。

建议：

• 对于行政机关而言，应确保在作出当场处罚决定时严格遵守法定程序和要求，包括及时告知、听取陈述申辩、制作处罚决定书等。如果因特殊原因需要延迟作出处罚决定，应确保延迟是合理且必要的，并保留好相关证据和记录。
• 对于当事人而言，如果对行政机关的处罚决定有异议，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼来维护自己的合法权益。在申请复议或提起诉讼时，应提供充分的证据来支持自己的主张。

可能后果：

• 如果行政机关的处罚决定被认定为不合法，可能会面临被撤销、变更或确认违法的风险。同时，行政机关还可能因违法行政而承担相应的法律责任。
• 对于当事人而言，如果处罚决定被撤销或变更，其可能因此免除或减轻相应的法律责任。如果当事人因违法行政而遭受了损失，还可以依法要求行政机关进行赔偿。