判决书下来后，当事人通常可以在判决书送达之日起15日内向上一级人民法院提起上诉。以下是详细解释和注意事项：

一、上诉期限的法律规定

根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人不服地方人民法院第一审判决的，有权在判决书送达之日起十五日内向上一级人民法院提起上诉。这一期限是法定的，从判决书送达当事人之日起计算。

二、上诉期限的计算方式

1. 送达之日：上诉期限的计算始于判决书送达当事人之日。送达方式可能包括直接送达、邮寄送达等，以当事人实际收到判决书之日为准。
2. 15日期限：从送达之日起算，当事人有15日的时间来准备上诉材料并提交给上一级人民法院。这15日包括法定节假日和周末，如果期限届满的最后一日是节假日，则以节假日后的第一日为期限届满日期。

三、上诉的流程和注意事项

1. 准备上诉材料：当事人需要准备上诉状、相关证据材料等，以支持其上诉请求。上诉状应当明确上诉请求和理由，并附上相关证据。
2. 提交上诉材料：当事人应当在上诉期限内将上诉材料提交给上一级人民法院。可以通过直接递交、邮寄等方式提交。
3. 缴纳上诉费用：根据法律规定，当事人提起上诉需要缴纳一定的上诉费用。具体费用标准可以咨询当地法院或查阅相关法律规定。
4. 等待法院受理和审理：上一级人民法院在收到上诉材料后，会进行审查并决定是否受理。如果受理，法院会安排开庭审理，并作出终审判决。

四、特殊情况下的上诉期限

1. 涉外案件：对于涉外案件，如果当事人在中华人民共和国领域内没有住所，其上诉期限可能会更长，具体根据相关法律规定和案件情况确定。
2. 特殊情况下的延长：在特殊情况下，如当事人因不可抗力或其他正当理由无法在上诉期限内提起上诉，可以向法院申请延长上诉期限。但这种情况较为少见，且需要符合法律规定的条件。

五、法律后果

如果当事人未在上诉期限内提起上诉，则一审判决将发生法律效力，当事人需要履行判决确定的义务。如果当事人对判决结果不服但未在规定期限内上诉，将失去通过上诉程序改变判决结果的机会。

建议：如果您对判决书内容有异议并希望提起上诉，请务必在上诉期限内准备好相关材料并提交给上一级人民法院。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。