判决书下来后，上诉期限根据案件类型有所不同，具体如下：
民事及行政案件：
- 上诉期限：当事人不服地方人民法院第一审判决的，有权在判决书送达之日起十五日内向上一级人民法院提起上诉。
- 特别说明：如果是适用小额诉讼程序审理的民事案件，则实行一审终审，判决书送达后即发生法律效力，当事人不能上诉。
刑事案件：
- 上诉期限：对于刑事案件的判决，不服的上诉和抗诉期限为十日，从接到判决书的第二日起算。
上诉期限的计算与注意事项：
- 计算方式：上诉期限从判决书或裁定书送达之日起计算。如果有多个当事人，各自收到判决书的日期分别计算上诉期限。若上诉期限的最后一日是节假日，则以节假日期满后的第一个工作日为期限届满日。
- 提交上诉状：在上诉期限内，当事人可以通过原审法院向上一级法院提交上诉状，也可以直接向上一级法院提交上诉状。
- 缴纳上诉费用：上诉过程中，当事人需按照法律规定缴纳相应的上诉费用。
- 法律后果：超过上诉期限未提起上诉的，一审判决将生效，当事人需履行判决所确定的义务。因此，务必在规定时间内行使上诉权利，否则将丧失上诉资格。
特殊情况下的法律救济：
虽然法律对上诉期限有明确规定，但也提供了一些特殊的救济途径，以应对可能出现的特殊情况：
- 申请再审：当事人如果认为生效判决存在错误，可以在判决生效后的六个月内向上一级人民法院申请再审。申请再审需具备法定事由，如新证据足以推翻原判决、原判决认定的基本事实缺乏证据证明等。
- 向检察院申请抗诉：当事人还可以选择向人民检察院申请检察建议或者抗诉。人民检察院将在三个月内对当事人的申请进行审查，并决定是否提出检察建议或者抗诉。
- 特殊情况的延期或重新开启上诉程序：如果当事人能够证明存在不可抗力（如重病、自然灾害等）或其他正当理由（如未收到判决书、对法律程序不了解等），导致未能在规定时间内行使上诉权利，法院在经过严格审查后，可能会酌情准予其提出上诉申请。
总结与建议：
上诉期限是法律明确规定的，当事人在收到一审判决书或裁定书后，应仔细核对上诉期限，并在规定时间内按照法律规定的程序行使上诉权利。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，比如具体案件上诉期限的计算、上诉状的撰写等，都可以直接向我咨询，我会为你提供专业、全面的法律服务。