结论：私企辞退超过六十岁的员工，处理方式需根据员工是否已享受养老保险待遇或领取退休金来区分，同时要考虑辞退的原因是否合法合规。
分析说明：
员工已享受养老保险待遇或领取退休金的情况：
- 法律关系：根据相关法律法规及司法实践，如果员工已经达到法定退休年龄，并且已经开始享受养老保险待遇或者领取退休金，那么该员工与用人单位之间的法律关系将转变为劳务关系，而非劳动关系。
- 辞退处理：在这种情况下，用人单位辞退员工通常不需要遵循劳动关系下的辞退程序，也不需要支付经济补偿金。但是，用人单位应当确保辞退行为不违反双方签订的劳务合同中的约定，以及不违反其他相关法律法规的规定。
员工未享受养老保险待遇或领取退休金的情况：
- 法律关系：如果员工虽然超过六十岁，但并未享受养老保险待遇或领取退休金，那么该员工与用人单位之间仍然保持劳动关系。
- 辞退处理：
- 合法辞退：如果用人单位因员工存在严重违反公司规章制度、不能胜任工作且经过培训或调岗后仍不能胜任、客观情况发生重大变化导致合同无法履行等合法原因而辞退员工，用人单位需要按照《劳动合同法》的规定支付经济补偿金，并提前通知员工或支付代通知金。
- 违法辞退：如果用人单位无正当理由辞退员工，或者辞退行为违反了法律法规的规定，那么员工有权要求用人单位继续履行劳动合同，或者要求用人单位支付赔偿金（通常是经济补偿金的两倍）。
特殊场景：
- 超龄员工工伤处理：即使员工超过六十岁，如果其在工作过程中发生工伤，用人单位仍然需要承担相应的工伤保险责任。这包括支付工伤医疗费用、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。
- 劳务合同中的特别约定：如果用人单位与超龄员工签订了劳务合同，并且合同中明确约定了辞退的条件和程序，那么用人单位在辞退员工时应当遵循这些约定。但是，这些约定不得违反法律法规的强制性规定。
行动建议：
- 对用人单位：在辞退超龄员工前，应当仔细审查员工的养老保险待遇或退休金领取情况，以及双方签订的合同类型（劳动合同还是劳务合同）。同时，要确保辞退行为合法合规，避免引发劳动争议。
- 对员工：如果被用人单位辞退，并且认为辞退行为不合法或不合理，可以及时向用人单位提出异议，并要求用人单位出具书面的辞退通知。如果协商无果，可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。
法律依据：
- 《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条、第四十六条、第四十七条、第八十七条等条款，规定了劳动合同的终止、经济补偿金的支付以及违法辞退的赔偿责任。
- 《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》等相关司法解释，对超龄员工的劳动关系认定、工伤处理等问题提供了具体的指导。