针对您提出的“没儿子的老人最后家产怎么处理”这一问题，这确实是一个涉及法律与伦理的复杂议题。以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，家产的处理并不完全取决于老人是否有儿子，而是依据法律规定的继承顺序和继承人的情况来决定。
一、法定继承顺序
在老人去世后，其家产（遗产）的继承首先遵循法定继承顺序。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，法定继承顺序为：第一顺序为配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。如果老人没有第一顺序的继承人（如无子女、配偶已去世、父母已离世），那么其遗产将由第二顺序的继承人继承。
二、无继承人的情况
如果老人既没有第一顺序的继承人，也没有第二顺序的继承人，或者所有继承人都放弃继承，那么情况就会有所不同。在这种情况下，根据法律规定，由逝者生前住所地的民政部门或者村委会来担任遗产管理人。这里需要特别说明的是，“利害关系人”（如主动承担生养死葬的扶养义务、有债权债务关系的人）可以向法院申请，让民政部门担任遗产管理人。
三、特殊情况的处理
遗嘱继承：如果老人在生前立有遗嘱，明确指定了遗产的继承人或分配方式，那么遗产将按照遗嘱进行分配。这是法律尊重个人意愿的体现。
协议继承：在某些情况下，如孤寡老人去世后，其亲属或相关人员可能会通过协商达成遗产分割协议。这种协议在符合法律规定且不损害他人利益的情况下，是具有法律效力的。例如，在您提到的案例中，方老四的三个姐姐与方小伦达成的《关于方老四后事的协议书》就被法院确认为有效，并按照协议约定进行了遗产分割。
社会救助与公益：对于无继承人的孤寡老人，其遗产在无法按照法定继承或遗嘱继承处理时，可能会用于社会救助或公益事业。这既体现了法律对弱势群体的关怀，也符合社会公平正义的原则。
四、建议与注意事项
提前规划：为了避免去世后家产处理出现纠纷，建议老人在生前就对自己的财产进行合理规划，如立遗嘱或与家人协商达成遗产分割协议。
了解法律：了解并熟悉相关的法律法规，以便在需要时能够维护自己的合法权益。
尊重意愿：在处理家产时，应尊重老人的生前意愿和法律规定，避免因为个人利益而损害他人或社会的利益。
综上所述，没儿子的老人最后家产的处理方式取决于多种因素，包括法定继承顺序、遗嘱继承、协议继承以及社会救助与公益等。在处理家产时，应遵循法律规定，尊重老人意愿，确保公平、公正、合法。