结论：老人被推倒摔伤后是否立案，需根据具体情况综合判断，包括伤情严重程度、证据充分性、行为人主观意图及双方关系等因素。以下从不同角度详细分析：
一、从伤情严重程度角度
若伤情较轻：
- 法律后果：根据《民法典》侵权责任编，行为人需承担民事赔偿责任，包括医疗费、护理费、交通费等合理费用。此时，立案并非唯一途径，双方可协商赔偿，或通过社区调解、人民调解委员会等非诉讼方式解决。
- 建议：若双方能友好协商，且赔偿金额合理，可不必立案，以节省时间和精力。若协商不成，再考虑通过法律途径解决。
若伤情较重：
- 法律后果：若伤情构成轻伤或重伤，行为人可能涉嫌故意伤害罪，需承担刑事责任。此时，立案是追究行为人刑事责任的前提。
- 建议：应立即报警，由公安机关立案侦查，并收集相关证据（如监控录像、证人证言、医疗记录等），以支持后续的刑事诉讼和民事赔偿请求。
二、从证据充分性角度
证据充分：
- 法律后果：若能提供充分证据证明行为人存在过错（如故意推倒老人），且该过错与老人摔伤之间存在因果关系，则立案后胜诉概率较高。
- 建议：在证据充分的情况下，立案是维护老人合法权益的有效途径。应尽快收集并整理证据，向公安机关或法院提交立案申请。
证据不足：
- 法律后果：若证据不足，难以证明行为人存在过错或过错与摔伤之间的因果关系，则立案后可能面临败诉风险。
- 建议：在证据不足的情况下，应谨慎考虑是否立案。可先尝试通过非诉讼方式解决纠纷，如协商、调解等。若确实需要立案，则应积极补充证据，提高胜诉概率。
三、从行为人主观意图角度
故意行为：
- 法律后果：若行为人故意推倒老人，则构成故意伤害罪或寻衅滋事罪等刑事犯罪，需承担刑事责任。
- 建议：应立即报警并立案，追究行为人的刑事责任，并同时提起民事赔偿诉讼。
过失行为：
- 法律后果：若行为人因过失导致老人摔伤，则不构成刑事犯罪，但需承担民事赔偿责任。
- 建议：可根据伤情严重程度和证据充分性决定是否立案。若伤情较轻且证据充分，可通过非诉讼方式解决；若伤情较重或证据不足，则可考虑立案并提起民事赔偿诉讼。
四、从双方关系角度
熟人关系：
- 法律后果：若双方为熟人关系（如邻居、亲友等），则可能更倾向于通过协商、调解等非诉讼方式解决纠纷。
- 建议：在熟人关系下，可先尝试通过非诉讼方式解决纠纷，以维护双方关系和谐。若协商不成或调解无果，再考虑立案。
陌生人关系：
- 法律后果：若双方为陌生人关系，则可能更倾向于通过法律途径解决纠纷。
- 建议：在陌生人关系下，若伤情较重或证据充分，应立即报警并立案，以维护老人合法权益。
综合建议：老人被推倒摔伤后是否立案，需根据具体情况综合判断。若伤情较重、证据充分且行为人存在故意行为，则应立即立案并追究行为人的法律责任；若伤情较轻、证据不足或双方为熟人关系，则可先尝试通过非诉讼方式解决纠纷。在任何情况下，都应积极收集并保存相关证据，以支持后续的维权行动。如有进一步疑问或需要法律帮助，可直接向我咨询。