结论：当事人申请不予执行仲裁裁决，应当在执行程序开始后，执行完毕之前的十五日内提出，特殊情况下需自知道或应当知道相关事实之日起十五日内提出，且若已申请撤销仲裁裁决并被受理，则自驳回撤销申请的裁判文书生效之日起重新计算期限。

详细分析：

1. 一般情况下的申请期限：

   • 根据《最高人民法院关于人民法院办理仲裁裁决执行案件若干问题的规定》第八条，被执行人向人民法院申请不予执行仲裁裁决的，应当在执行通知书送达之日起十五日内提出书面申请。这一规定明确了在一般情况下，申请不予执行仲裁裁决的期限。
   • 举例：假设仲裁裁决书要求被执行人在收到裁决书后10日内履行义务，而执行通知书在裁决书生效后送达被执行人，那么被执行人应在收到执行通知书之日起15日内提出不予执行的申请。

2. 特殊情况下的申请期限：

   • 若裁决所根据的证据是伪造的，或者仲裁员在仲裁该案时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁决行为，且执行程序尚未终结的，被执行人应当自知道或者应当知道有关事实或案件之日起十五日内提出书面申请。
   • 举例：如果被执行人在执行过程中发现了仲裁员存在枉法裁决的行为，并且这一行为是在执行通知书送达后才知道的，那么被执行人应在知道该行为之日起15日内提出不予执行的申请。
   • 此外，如果在前述期限届满前，被执行人已向有管辖权的人民法院申请撤销仲裁裁决且已被受理，那么自人民法院驳回撤销仲裁裁决申请的裁判文书生效之日起，将重新计算申请不予执行的期限。

3. 申请不予执行仲裁裁决的重要性：

   • 严格遵守申请不予执行的期限是法律程序的要求，也是当事人维护自身权益的重要保障。若未在规定期限内提出申请，且不存在时效中止、中断的法定事由，仲裁裁决将具有确定的法律效力，当事人必须履行裁决所确定的义务。
   • 举例：如果被执行人未在规定期限内提出不予执行的申请，且仲裁裁决已经生效，那么被执行人将面临被法院强制执行的风险，包括财产被查封、冻结或划拨等。

4. 不予执行仲裁裁决的情形：

   • 根据相关法律法规，被申请人提出证据证明仲裁裁决存在以下情形之一的，经人民法院组成合议庭审查核实，可以裁定不予执行：
     1. 当事人在合同中没有订立仲裁条款或者事后没有达成书面仲裁协议的；
     2. 裁决的事项不属于仲裁协议的范围或者仲裁机构无权仲裁的；
     3. 仲裁庭的组成或者仲裁的程序违反法定程序的；
     4. 认定事实的主要证据不足的；
     5. 适用法律确有错误的；
     6. 仲裁员在仲裁该案时有索贿受贿、徇私舞弊、枉法裁决行为的；
     7. 涉外仲裁中，被申请执行人没有得到指定仲裁员或者进行仲裁程序的通知，或者由于其他不属于被申请人负责的原因未能陈述意见的；
     8. 涉外仲裁中，仲裁庭的组成或者仲裁的程序与仲裁规则不符的；
     9. 人民法院认定执行该裁决违背社会公共利益的。

建议：如果你或你身边的人遇到了需要申请不予执行仲裁裁决的情况，建议尽快咨询专业律师（即我本人），以便在规定期限内提出申请，并准备充分的证据来支持你的申请。同时，也要仔细审查仲裁裁决是否存在不予执行的情形，以确保法律的公正和权威得到尊重。