结论：父亲因醉驾判刑一个月，儿子在征兵政审环节可能会面临更为严格的审查，但并非绝对不能当兵，具体结果需根据多种因素综合考量后由相关部门决定。

详细分析：

1. 法律背景：

   • 我国法律对于父亲有犯罪记录是否会直接影响子女的征兵资格并没有作出明确规定。然而，在征兵实践中，军队对政治条件有着严格的要求，这关乎应征公民本人及其家庭成员的政治表现和道德品质。
   • 根据《征兵政治审查工作规定》，如果家庭主要成员（包括父亲）有被刑事处罚的记录，那么子女在征兵政治审查中可能会面临不符合征集服现役的政治条件的情况。这里的“被刑事处罚”包括了被判处实刑（如您父亲因醉驾被判刑一个月）的情形。

2. 政审环节的影响：

   • 政审是征兵过程中的一个重要且严谨的环节，旨在确保应征者及其家庭成员在政治立场、道德品质等方面均符合军队的高标准要求。
   • 当发现应征者的家庭成员存在犯罪记录时，无论该记录是否直接导致法律上的限制，都可能引发更为严格的审查。这种审查可能涉及对犯罪性质、情节、社会影响以及对子女的具体影响等多方面的考量。

3. 综合考量因素：

   • 相关部门在审查时会综合考量多种因素，如犯罪的性质（如醉驾属于危险驾驶罪，性质相对较轻）、情节（如是否造成严重后果）、社会影响（如是否引起公众广泛关注）以及对子女的具体影响（如子女是否因此受到社会歧视或心理压力）等。
   • 如果父亲醉驾情节较轻，未造成严重后果，且儿子在道德品质、政治立场等方面表现优秀，那么儿子仍有可能通过政审，成功当兵。

4. 建议与行动：

   • 如果您或您的儿子对征兵政审有具体疑问或担忧，建议直接咨询当地的征兵机构或相关部门，以获取最准确的信息和指导。
   • 在日常生活中，家庭成员应注意言行举止，遵守法律法规，以避免给子女带来不必要的麻烦和影响。

总结：父亲因醉驾判刑一个月，并不意味着儿子绝对不能当兵。在征兵政审环节，儿子可能会面临更为严格的审查，但具体结果需根据多种因素综合考量后由相关部门决定。如果您或您的儿子有进一步的疑问或需要具体的法律建议，请随时向我咨询。