法院能够进行相关调查，但能否据此认定交易有效或实现物权变动需结合具体证据和法律程序综合判断。以下从不同角度展开分析：

1. 发票与合同的关系及证据效力
   发票是交易支付的凭证，但仅凭发票无法直接证明物权归属。根据《民法典》第209条，不动产物权变动需依法登记才发生效力。若车库属于不动产（如独立产权车库），即使有发票和私下合同，未办理过户登记的，物权仍归原卖方所有。此时，法院会审查合同真实性、付款记录、实际占有情况等证据，综合判断交易是否成立。若合同系双方真实意思表示且不违法，法院可能认定买卖合同有效，但买方需通过要求卖方配合过户或主张违约赔偿来维权，而非直接取得物权。

2. 私下合同的法律效力
   私下签订的合同若符合《民法典》第143条（行为人具有相应能力、意思表示真实、不违法违规）则有效，但效力仅限于合同双方。若卖方“一房二卖”或拒不履行合同，买方可凭合同、发票、付款凭证等证据起诉，要求继续履行合同或赔偿损失。但若合同存在欺诈、胁迫等情形，另一方可能主张撤销合同，此时法院需审查证据链完整性。

3. 法院调查的范围与程序
   法院在诉讼中可依职权或依申请调查证据，包括：

   • 调取发票开具记录、银行转账流水等证明付款事实；
     
   • 询问当事人、证人以核实交易细节；
     
   • 委托鉴定机构鉴定合同签名真实性等。
     但法院不会主动介入未进入诉讼程序的私人交易，需买方通过起诉启动司法程序。

4. 风险提示与建议

   • 若车库未登记，买方风险极高，建议立即要求卖方办理过户登记，或通过公证、律师见证等方式增强合同效力；
     
   • 若卖方拒不配合，应尽快收集合同、发票、付款记录、占有使用证据（如物业费缴纳凭证）等起诉，避免卖方转移财产；
     
   • 若涉及多手交易或复杂权属纠纷，建议委托律师梳理法律关系，制定诉讼策略。

总结：法院可调查发票和私下合同，但能否支持买方诉求取决于证据充分性和法律程序。建议买方优先通过协商或诉讼要求过户，若无法实现则主张赔偿，同时完善证据链以降低风险。如有进一步细节需分析，可直接向我咨询。