核心结论：遇到车子被出租车司机追尾后对方不肯出钱修理的情况，您可以通过以下途径解决：

1. 及时固定证据并报警
   首先，确保事故现场的安全，立即拍照或录像记录车辆碰撞位置、车牌号、道路环境等信息，并保留好现场。如果对方拒绝协商或承认责任但拒绝赔偿，应第一时间拨打122报警，由交警到场出具《交通事故责任认定书》。这份文书是后续维权的核心证据，能明确双方责任比例（如对方全责）。若对方逃逸，警方可通过监控追踪，您还可向保险公司申请“代位追偿”（需提供警方立案证明）。

2. 联系保险公司启动理赔程序
   若您购买了车损险，无论对方是否配合，均可直接向自己的保险公司报案。保险公司会派定损员评估维修费用，并协助追偿。若对方有交强险，其保险公司应在2000元财产损失限额内先行赔付；超出部分按责任比例分担。若对方无保险或拒赔，您的保险公司可能先行垫付维修费（需签署权益转让书，后续由保险公司向对方追偿）。

3. 通过法律途径强制执行赔偿
   若对方仍拒绝赔偿，您可凭《交通事故责任认定书》、维修发票、定损报告等证据，向法院提起民事诉讼，要求对方赔偿车辆维修费、误工费（如因修车产生）等损失。法院判决后，若对方仍不履行，可申请强制执行，法院会冻结其财产（如银行账户、车辆）或采取限制高消费等措施。

补充建议：

• 修理厂选择：优先选择与保险公司合作的定损点，避免维修费用被质疑不合理。
  
• 沟通技巧：与对方交涉时保持冷静，明确告知其法律义务（如《道路交通安全法》第76条），并保留通话录音或聊天记录作为证据。
  
• 特殊情况：若对方是出租车公司员工且事故发生在工作期间，可要求公司承担连带赔偿责任。

如有进一步细节（如对方是否承认责任、是否有保险、维修费用金额等），可随时向我补充说明，我会为您分析具体操作步骤。