当您乘坐的出租车遭遇追尾，且对方不配合处理时，您可以按照以下步骤来有效维护自己的合法权益：

一、确保安全与紧急应对

1. 现场判断与安全转移：事故发生后，请首先确保自身安全。若受伤严重，请立即要求出租车司机拨打120急救电话，切勿随意移动。若身体状况允许，且处于危险位置，应迅速下车并转移至安全区域。

2. 报警处理：根据相关法律法规，您应要求出租车司机立即报警。交警将到场进行事故勘查，并出具事故责任认定书，这是后续处理赔偿事宜的重要依据。

二、全面收集证据

1. 现场证据：利用手机从多个角度拍摄事故现场照片或视频，确保记录清晰、全面。同时，如果出租车有行车记录仪，也请确保相关录像得到妥善保存。

2. 证件信息记录：礼貌地向出租车司机和追尾车辆司机索要驾驶证、行驶证等证件信息，并记录下来。这些信息在后续理赔过程中将起到关键作用。

3. 医疗记录：若您在此次事故中受伤，请立即就医并保存所有相关的医疗记录和费用清单。这些将作为日后索赔的重要依据。

三、与对方及保险公司沟通

1. 联系对方保险公司：及时通知追尾车辆的保险公司，详细说明事故情况及对方不配合的现状，请求保险公司介入并协助处理。

2. 直接沟通：在保持冷静的前提下，尝试与追尾车辆司机直接沟通，明确指出其赔偿责任和未履行的义务，探讨是否能通过友好协商解决。

四、寻求官方协助与调解

1. 交警部门：向负责处理事故的交警部门反馈对方不配合的情况。交警有权要求对方配合调查，并依法采取相应措施。

2. 调解申请：根据相关法律法规，您可以向交通管理部门申请调解。由专业调解人员依据事实和法律进行调解，促使双方达成赔偿协议。

五、法律维权途径

1. 发送律师函：若协商和调解均无果，您可以考虑委托律师起草并向对方发送律师函，正式指出其行为构成侵权，并要求在规定期限内配合处理事故，承担赔偿责任。

2. 准备起诉：若对方仍不履行赔偿义务，您应准备充分的起诉材料，包括事故责任认定书、医疗记录、费用清单、身份证明等，书写清晰的起诉状，阐述事故经过、对方全责的事实以及具体的诉讼请求。

3. 提起诉讼：向有管辖权的人民法院提交起诉状和证据，参与庭审过程，依据证据阐明诉求。法院将依法审理并作出判决。

4. 强制执行：若判决生效后对方仍不履行赔偿义务，您可向法院申请强制执行，通过法律手段强制对方履行赔偿责任。

六、注意事项

• 在整个过程中，请务必保持冷静和理性，避免情绪化的冲突。
• 所有沟通记录，包括电话录音、短信、微信聊天记录等，都应作为证据保存。
• 若涉及车辆维修等消费纠纷，您还可向消费者协会或相关行业监管部门投诉，寻求额外帮助。

通过上述步骤，您可以有效地应对出租车追尾后对方不配合处理的情况，确保自己的合法权益得到充分保护。