结论：针对您在公司工作第10年，已签3次合同（第三次为5年合同且即将到期），但公司未发续签合同的情况，您可以从以下几个角度来理解和处理这个问题。
合同到期后的法律状态：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，除非双方协商一致续签，否则劳动合同即行终止。但在此情况下，若您在公司连续工作满十年，且您提出或者同意续订、订立劳动合同的，除您提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
- 建议：您可以主动与公司沟通，表达您希望续签劳动合同的意愿，并询问公司为何未发出续签通知。若公司表示愿意续签，但未及时发出通知，您可以要求公司尽快补发续签合同。
公司未续签合同的法律后果：
- 如果公司未与您续签劳动合同，且未提前通知您终止劳动合同，那么公司可能构成违法终止劳动合同。根据《劳动合同法》的规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 经济补偿计算（若公司违法终止合同）：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 赔偿金则是经济补偿的两倍。因此，若您在公司工作10年，且月工资为X元，则公司应支付的赔偿金为\(2 \times 10 \times X = 20X\)元（此处X代表您的月工资数额）。
- 建议：若公司明确表示不再续签合同，且未给予合理经济补偿，您可以收集相关证据（如工作证明、工资单、合同等），向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付赔偿金。
您的权利与行动建议：
- 您有权要求公司明确告知是否续签劳动合同，并有权在合同到期后继续在公司工作（若公司未明确表示终止合同且您愿意继续工作），直至双方就续签事宜达成一致或公司依法终止合同。
- 建议：在沟通过程中，保持冷静和理性，尽量通过协商解决问题。若协商无果，再考虑通过法律途径维护自己的权益。同时，注意保留好所有与工作相关的证据和文件，以备不时之需。
进一步思考：在处理此类问题时，除了关注法律条款和赔偿计算外，还应考虑与公司保持良好关系的重要性。尽管法律提供了保护劳动者权益的机制，但和谐的劳动关系对于双方的长远发展都是有益的。因此，在采取法律行动之前，不妨先尝试通过沟通、协商等方式解决问题。若您在此过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。