结论：交警在执行公务过程中，驾驶警车追赶未戴头盔的电动车驾驶员，这一行为是否合法，需结合具体情况来判断，一般情况下，若交警的追赶行为符合法律规定且未造成不良后果，则合法；若追赶过程中存在不当行为或造成不良后果，则可能不合法。
分析说明：
交警的执法权限：
- 交警作为交通管理部门，有权对违反交通法规的行为进行查处，包括未戴头盔驾驶电动车的行为。
- 在执行公务时，交警有权采取必要的措施来制止违法行为，包括追赶违法车辆。
追赶行为的合法性：
- 合法情形：如果交警在追赶过程中，遵守了交通法规，未使用暴力或威胁手段，且追赶行为是为了制止违法行为、维护交通秩序，那么这种追赶行为是合法的。
- 不合法情形：如果交警在追赶过程中，违反了交通法规，如超速、闯红灯等，或者使用了暴力或威胁手段，甚至造成了交通事故或人员伤亡，那么这种追赶行为就是不合法的，交警可能需要承担相应的法律责任。
未戴头盔的违法性：
- 根据交通法规，驾驶电动车时应当佩戴安全头盔，这是为了保障驾驶人的安全。
- 未戴头盔驾驶电动车属于违法行为，交警有权对此进行查处。
特殊情况考虑：
- 如果电动车驾驶员在看到交警追赶后，因恐慌而加速逃跑，导致发生交通事故，这种情况下，虽然电动车驾驶员的逃跑行为可能加剧了事故的风险，但交警的追赶行为是否合法仍需根据具体情况来判断。
- 如果交警在追赶过程中，已经通过其他方式（如喊话、鸣笛等）表明了身份和意图，且电动车驾驶员仍然拒绝停车接受检查，那么交警的追赶行为可能更加具有合法性。
法律建议：
- 对于电动车驾驶员来说，遵守交通法规，佩戴安全头盔是保障自身安全的重要措施。在遇到交警检查时，应积极配合，不要逃避或抗拒。
- 对于交警来说，在执行公务时，应严格遵守交通法规和执法程序，确保执法行为的合法性和正当性。在追赶违法车辆时，应谨慎操作，避免造成不必要的交通事故或人员伤亡。
后续行动：
- 如果您作为电动车驾驶员，因未戴头盔被交警追赶并受到了处罚，您有权对处罚决定提出异议或申请行政复议。
- 如果您认为交警的追赶行为存在不当或违法行为，您可以向相关部门进行投诉或举报，并寻求法律帮助来维护自己的合法权益。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。