结论：关押期限并非最长就是37天，这主要取决于案件所处的阶段和具体情况。在涉嫌故意伤害案中，开完庭后迟迟不下判决，人被强制关押的期限会受到多种因素的影响。

详细分析：

1. 侦查阶段：

   • 在刑事案件的侦查阶段，公安机关对犯罪嫌疑人采取拘留措施后，一般关押期限最长为37天。这37天包括公安机关提请批捕前的3天拘留期，以及检察机关审查批捕的7天期限（对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长到三十日，加上检察机关审查批捕的7天，共37天）。但这一期限仅适用于侦查阶段，且是在未批准逮捕或未变更强制措施的情况下。

2. 审查起诉与审判阶段：

   • 一旦案件进入审查起诉或审判阶段，关押期限就不再受37天的限制。在审查起诉阶段，检察机关可以决定是否对犯罪嫌疑人提起公诉，并可以决定是否继续羁押或变更强制措施。
   • 进入审判阶段后，法院将根据案件的具体情况，包括证据的充分性、犯罪的严重性等，来决定是否继续羁押被告人。如果法院认为需要继续羁押，那么关押期限将会延长，直至判决作出并执行。

3. 关押期限的延长：

   • 在审判过程中，如果案件复杂、证据繁多，或者存在其他需要进一步调查的情况，法院可能会决定延长审理期限。这同样会导致关押期限的延长。
   • 此外，如果被告人被判处刑罚，且刑罚为有期徒刑以上，那么关押期限将会持续至刑罚执行完毕之日。

4. 法律建议：

   • 对于您目前的情况，我建议首先了解案件所处的具体阶段（侦查、审查起诉还是审判），以及法院迟迟不下判决的具体原因。
   • 如果您或您的家人认为关押期限过长，且存在不合理之处，可以向法院提出申请，要求解释延迟判决的原因，并寻求法律援助或咨询专业律师以了解进一步的法律救济途径。

可能后果与进一步行动：

• 如果法院最终作出有罪判决，被告人将面临相应的刑罚执行，关押期限将持续至刑罚执行完毕。
• 如果法院作出无罪判决或决定不起诉，被告人将被立即释放，并可以依法申请国家赔偿（如果存在错误羁押的情况）。
• 在整个过程中，被告人及其家属都有权了解案件的进展情况，并可以依法提出申诉或控告。

总结与提醒：

关押期限并非固定不变，而是受到案件阶段、证据情况、法律程序等多种因素的影响。如果您或您的家人面临类似情况，请务必保持冷静，及时咨询专业律师以了解具体的法律权益和救济途径。有问题可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。