核心结论：在全屋定制交易中，未签订书面合同且无违约约定的情况下，工厂延期发货，您仍可通过多种法律途径主张权利，但需结合具体证据和法律规定综合处理。以下是具体分析：
1. 口头合同的法律效力
根据《民法典》第四百六十九条，合同形式包括书面、口头或其他形式。即使未签订书面合同，只要双方通过行为（如付款、确认设计方案等）或口头约定达成合意，合同即成立。您需收集以下证据证明合同关系及约定内容：
- 付款凭证：转账记录、收据等证明您已支付货款；
- 沟通记录：微信、短信、邮件等聊天记录中工厂确认订单、发货时间等内容；
- 设计图纸或确认单：工厂提供的设计方案、尺寸确认单等，证明双方存在定制合同关系；
- 证人证言：如有第三方见证交易过程，可辅助证明合同存在。
2. 工厂延期发货的违约责任
即使合同未明确约定违约责任，工厂仍需承担法定违约责任：
- 继续履行：您可要求工厂按约定时间发货，若工厂拒绝，可向法院起诉强制履行；
- 赔偿损失：根据《民法典》第五百八十四条，工厂需赔偿您因延期发货导致的实际损失（如临时租房费用、工期延误罚款等）。您需提供损失证据（如租房合同、付款凭证等）；
- 解除合同：若延期导致合同目的无法实现（如婚房装修逾期），您可依据《民法典》第五百六十三条解除合同，并要求工厂返还货款及赔偿损失。
3. 无书面合同的举证风险及应对
由于缺乏书面合同，您可能面临举证困难，需重点准备以下证据：
- 证明合同内容：通过沟通记录、设计图纸等证明双方约定的产品规格、价格、发货时间等；
- 证明工厂违约：收集工厂承认延期发货的聊天记录、录音等；
- 证明损失金额：提供损失计算依据（如市场租金标准、第三方施工合同违约金条款等）。
4. 建议处理步骤
- 与工厂协商：明确要求工厂书面承诺发货时间，并保留协商记录；
- 发送律师函：通过正式法律文书督促工厂履行义务，为后续诉讼留存证据；
- 向消费者协会投诉：若工厂存在欺诈或恶意拖延，可向12315投诉；
- 提起诉讼：若协商无果，直接向法院起诉，主张继续履行、赔偿损失或解除合同。
5. 风险提示
- 若证据不足（如无付款凭证、沟通记录缺失），可能面临败诉风险；
- 诉讼周期较长，需权衡时间成本与损失金额；
- 若工厂已停业或转移财产，即使胜诉也可能面临执行困难。
行动建议：立即整理所有与工厂的沟通记录、付款凭证等证据，向工厂发送书面催告函（保留邮寄凭证），若工厂仍不履行，可委托律师起草律师函或直接起诉。如有进一步问题，可直接向我咨询具体证据收集或诉讼策略。