结论前置：担保人履行了部分担保责任但原执行案件未履行完毕的情况下，担保人通常仍然有权行使追偿权，但需满足一定条件。
一、追偿权的法律依据与性质
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第七百条及第三百九十二条的规定，担保人（包括保证人和提供担保的第三人）在承担担保责任后，有权向债务人追偿。这一权利是法律明确赋予的，旨在保障担保人在履行担保责任后的合法权益。
- 性质：追偿权是担保人履行担保责任后，对债务人享有的一种经济上的请求补偿的权利。它原本是一种期待权利，在担保人实际承担担保责任后，转化为实定权利。
二、追偿权的行使条件
担保人已承担部分担保责任：
- 在您的情况下，担保人已经履行了部分担保责任，这是行使追偿权的前提条件之一。即使原执行案件未履行完毕，也不影响担保人就已承担的部分责任行使追偿权。
主债务仍然存在且债权债务关系合法有效：
- 担保人行使追偿权时，需要确保主债务仍然存在，且债权债务关系合法有效。如果主债务因各种原因消灭，或主债权债务合同因违法、欺诈、胁迫等原因被认定无效，担保人可能无法行使追偿权。
担保人承担担保责任无过错：
- 担保人在承担担保责任过程中应尽到合理的审查义务，确保担保行为的合法性和有效性。如果担保人存在过错，如未尽到审查义务或扩大了债务范围，可能会影响其追偿权的行使。
三、特殊情形下的考虑
- 共同担保情况：如果存在多个担保人对同一债务提供担保的情况，担保人之间的追偿问题可能较为复杂。根据《民法典》的相关规定，除非担保人之间有特别约定可以相互追偿，否则一般不能向其他担保人追偿。但这一规定并不影响担保人向债务人追偿的权利。
- 执行案件未履行完毕的影响：原执行案件未履行完毕，并不直接阻碍担保人行使追偿权。担保人可以就已承担的部分责任向债务人追偿，同时，如果后续债务人继续履行债务或执行案件有新的进展，担保人也可以根据实际情况调整其追偿策略。
四、实际操作建议
- 收集证据：担保人在行使追偿权时，应收集并保存好相关证据，如担保合同、履行担保责任的凭证、债务人的债务情况等，以证明其已承担担保责任且有权向债务人追偿。
- 协商或诉讼：担保人可以先尝试与债务人协商解决追偿问题，如果协商无果，则可以向法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。
五、法律后果
- 如果担保人成功行使追偿权，将能够获得债务人对其已承担担保责任的补偿，从而减轻其经济负担。
- 如果担保人因各种原因无法行使追偿权或追偿权受到限制，则可能需要自行承担部分或全部担保责任带来的经济损失。
综上所述，担保人履行了部分担保责任但原执行案件未履行完毕的情况下，仍然有权行使追偿权，但需满足一定条件。如果您在行使追偿权过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。