结论：孩子在校外有偿补课过程中受伤，能否起诉老师取决于具体情况，包括老师是否存在过错、过错与伤害之间的因果关系等。以下从不同角度进行分析：
一、法律关系分析
合同关系：
- 如果家长与老师之间签订了有偿补课的书面或口头合同，合同中可能包含了关于安全保障的条款。若老师未履行合同中的安全保障义务，导致孩子受伤，家长可以依据合同法的相关规定，要求老师承担违约责任。
侵权关系：
- 无论是否存在合同关系，如果老师在教学过程中存在过错（如疏忽大意、未采取必要的安全措施等），导致孩子受伤，老师的行为就构成了侵权。根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，家长可以要求老师承担侵权责任，包括赔偿医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入等。
二、过错与因果关系判断
过错判断：
- 需要分析老师在教学过程中是否存在过错。这包括老师是否尽到了合理的安全保障义务，如是否提供了安全的教学环境、是否进行了必要的安全教育、是否在孩子受伤时及时采取了救助措施等。
因果关系判断：
- 需要确定老师的过错与孩子受伤之间是否存在因果关系。即孩子的受伤是否是由于老师的过错行为直接导致的。如果存在因果关系，老师就需要承担相应的法律责任。
三、具体情形分析
老师存在明显过错：
- 如果老师在教学过程中存在明显的过错行为，如故意或过失地导致孩子受伤，家长可以直接起诉老师，要求其承担侵权责任。
老师无过错或过错不明显：
- 如果老师在教学过程中已经尽到了合理的安全保障义务，且孩子的受伤是由于不可抗力或孩子自身的原因导致的，老师可能不需要承担法律责任。但在此情况下，如果家长认为老师仍存在一定过错，可以通过协商、调解等方式解决纠纷。
四、建议与措施
收集证据：
- 家长在孩子受伤后，应及时收集相关证据，如现场照片、视频、医疗记录、证人证言等，以证明老师的过错和孩子的受伤情况。
协商与调解：
- 在起诉之前，家长可以尝试与老师进行协商或通过第三方调解机构进行调解，以达成和解协议，解决纠纷。
起诉与诉讼：
- 如果协商和调解无果，家长可以向法院提起诉讼，要求老师承担法律责任。在诉讼过程中，家长需要提供充分的证据来支持自己的主张。
进一步思考：在处理此类纠纷时，除了考虑法律责任外，还应关注孩子的身心健康和未来的成长。家长和老师应共同努力，为孩子创造一个安全、健康的学习环境。如果您在处理此类纠纷时遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。