您好，关于被监护人去世后，遗产由意定监护人和子女谁继承的问题，这主要取决于被监护人生前是否留下了有效的遗嘱、遗赠或遗赠扶养协议，以及意定监护人与被监护人之间的法律关系。

首先，我们需要明确的是，法律并没有直接规定意定监护人可以继承被监护人的遗产。意定监护制度主要是为了解决被监护人在失能后的生活照顾和财产处置问题，它并不直接涉及遗产继承。

接下来，我们分情况讨论：

1. 如果被监护人生前留下了有效的遗嘱、遗赠或遗赠扶养协议：

   • 那么遗产的继承将按照这些文件的规定进行。如果遗嘱或遗赠中明确指定了意定监护人为继承人或受遗赠人，那么意定监护人就有权继承相应的遗产。
   • 子女作为法定继承人，如果遗嘱中没有排除他们的继承权，他们仍然有权继承遗嘱中未指定的部分遗产。

2. 如果被监护人生前没有留下任何有效的遗嘱、遗赠或遗赠扶养协议：

   • 那么遗产的继承将按照法定继承的规定进行。在法定继承中，父母、配偶、子女是第一顺序继承人，兄弟姐妹、祖父母、外祖父母是第二顺序继承人。
   • 如果意定监护人是被监护人的子女，那么他们作为第一顺序继承人，有权继承遗产。
   • 如果意定监护人不是被监护人的子女，也不是其他第一顺序或第二顺序继承人，那么他们通常没有继承权。但是，如果意定监护人对被监护人尽了较多的扶养义务，他们可以根据《民法典》的规定，请求分得适当的遗产。这通常需要与其他继承人协商，协商不成的可以到法院起诉。

3. 特殊情况：

   • 如果被监护人去世后没有继承人，或者所有继承人都放弃继承，那么根据遗产管理人制度，被继承人生前住所地的民政部门或者村民委员会将担任遗产管理人，负责清理、保管、处置遗产。在这种情况下，意定监护人通常不会直接继承遗产，但如果他们对被监护人尽了较多的扶养义务，仍然有可能通过法律途径请求分得适当的遗产。

综上所述，被监护人去世后，遗产的继承问题需要根据被监护人生前的意愿和法律规定来确定。意定监护人并不直接享有继承权，但如果他们对被监护人尽了较多的扶养义务，或者在被监护人的遗嘱、遗赠中被指定为继承人或受遗赠人，那么他们有可能继承相应的遗产。子女作为法定继承人，在大多数情况下都有权继承遗产，但具体数额和方式需要根据法律规定和实际情况来确定。