建议优先选择在劳动合同到期日（6月27日）的前一个工作日即6月26日（周五）办理离职手续，但具体需结合公司规章制度和实际情况判断。以下是详细分析：

1. 法律层面：到期日当天劳动关系终止，但手续办理时间可协商
   根据《劳动合同法》第四十四条，劳动合同期满的，劳动关系自到期日终止（即6月27日）。但离职手续（如工作交接、工资结算、社保减员等）的办理时间法律未强制规定，通常由双方协商确定。

   • 若公司要求到期日当天（周六）办理，需注意：
     
     • 6月27日为休息日，若公司正常办公，可办理手续；
       
     • 若公司不办公，则可能需顺延至下一个工作日（下周一），但此时劳动关系已终止，公司可能需承担延迟办理手续的责任（如未及时停缴社保导致员工损失）。
       
   • 提前至周五（6月26日）办理的优势：
     
     • 避免因周末公司不办公导致手续延迟；
       
     • 确保劳动关系在到期日当天自然终止，减少后续纠纷风险。

2. 实务操作：需考虑公司规章制度和实际需求

   • 公司规定：部分公司会在规章制度中明确离职手续办理时间（如提前3天提交申请、到期日当天办理等）。若公司有明确规定，建议优先遵守，避免因违反流程影响离职证明开具或工资结算。
     
   • 工作交接：若周五办理手续，需确保工作交接完整，避免因提前离职导致公司业务受影响（否则可能需承担赔偿责任）。
     
   • 工资结算：根据《工资支付暂行规定》，劳动关系终止时，公司应一次性付清工资。若周五办理手续，可要求公司当场结算工资；若延迟至下周一，需明确工资支付时间并保留书面证据。

3. 风险提示与建议

   • 若选择周五办理：
     
     • 确认公司是否同意在到期日前办理手续（避免被认定为“提前离职”）；
       
     • 要求公司出具书面离职证明，并注明劳动关系终止日期为6月27日；
       
     • 核对社保减员时间，确保6月起不再由该公司缴纳社保。
       
   • 若选择下周一办理：
     
     • 与公司协商书面确认“因周末原因顺延至下周一办理手续，劳动关系仍于6月27日终止”；
       
     • 保留公司要求延迟办理的证据（如邮件、聊天记录），避免被认定为“自动续期劳动合同”。

总结：从法律风险和实务便利性角度，建议优先在周五（6月26日）办理离职手续，但需与公司充分沟通并确认细节。若公司坚持下周一办理，务必通过书面形式固定双方约定，避免纠纷。如有其他疑问，可进一步向我咨询。