核心结论：膝盖受伤且动了手术的工伤私了赔偿，需根据伤情鉴定结果、实际损失情况等综合确定赔偿项目和金额，以下分情况详细说明。

1. 明确工伤认定情况
   • 若已认定为工伤：私了赔偿本质上就是用人单位与劳动者就工伤赔偿事宜自行协商达成一致。赔偿项目通常包括医疗费、停工留薪期工资、护理费、交通费、住院伙食补助费等。如果经劳动能力鉴定构成伤残等级，还需支付一次性伤残补助金、一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金等。
   • 若尚未认定工伤：首先要尽快去申请工伤认定，因为只有认定为工伤后，才能按照工伤赔偿的标准来确定赔偿项目和金额。在未认定工伤前私了，可能存在赔偿项目不完整、赔偿金额过低等风险。比如，若后续被认定为工伤且构成伤残，但私了时未考虑伤残相关赔偿，劳动者就会遭受损失。
2. 确定赔偿金额的参考因素
   • 医疗费用：包括手术费、药费、检查费等因治疗膝盖受伤产生的合理费用，这是私了赔偿中比较基础且重要的部分。要保留好所有的医疗票据，以便准确计算金额。
   • 停工留薪期工资：根据劳动者受伤前的工资标准和停工留薪期的时长来确定。停工留薪期一般由医疗机构出具证明，用人单位应按照原工资福利待遇按月支付。例如，劳动者月工资为5000元，停工留薪期为3个月，那么这部分赔偿就是15000元。
   • 伤残等级：如果伤情较重，构成伤残，伤残等级不同，赔偿金额差异很大。一次性伤残补助金是根据本人工资和伤残等级来计算的，比如十级伤残为7个月的本人工资，九级伤残为9个月的本人工资，以此类推。一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金的具体标准则由各省、自治区、直辖市人民政府规定。
3. 私了协议的注意事项
   • 协议内容要明确具体：私了协议中应详细列明赔偿项目、金额、支付方式、支付时间等关键信息。例如，明确约定用人单位在何时以何种方式支付给劳动者多少赔偿款，避免模糊不清导致后续纠纷。
   • 双方自愿签署：私了协议必须是双方真实意思的表示，不存在欺诈、胁迫等情形。如果一方是在被强迫的情况下签署协议，该协议可能被认定为无效。
   • 最好进行公证或见证：为了增强协议的效力和可信度，双方可以考虑对私了协议进行公证，或者邀请第三方见证，如工会组织、社区工作人员等。

在私了过程中，如果对赔偿金额、项目等存在疑问，或者担心协议的合法性和有效性，都可以随时向我咨询，我会为你提供详细的法律分析和建议。