结论：项目经理私自安排晚上值班期间受伤，在符合一定条件下可以认定为工伤。具体是否构成工伤，需结合实际情况判断，以下从不同角度进行分析：
一、工伤认定的一般条件
根据《工伤保险条例》第十四条的规定，职工有下列情形之一的，应当认定为工伤：
在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的：这是工伤认定中最核心的条件。如果项目经理在晚上值班期间，因执行工作任务（如巡查工地、处理紧急情况等）而受伤，且受伤地点是在工作场所内，那么符合这一条件。
工作时间前后在工作场所内，从事与工作有关的预备性或者收尾性工作受到事故伤害的：虽然这一条款主要针对的是工作时间前后的预备性或收尾性工作，但如果项目经理的晚上值班可以被视为工作时间的延伸，且受伤与值班工作直接相关，也有可能被认定为工伤。不过，这种情况相对较为特殊，需要具体分析。
在工作时间和工作场所内，因履行工作职责受到暴力等意外伤害的：如果项目经理在晚上值班期间，因制止违法行为、保护公司财产等履行工作职责的行为而受到暴力伤害，也符合工伤认定的条件。
二、关于“私自安排”的影响
“私自安排”这一表述可能引发对工伤认定的一些疑问。关键在于：
是否属于工作职责范围：如果项目经理的晚上值班是其工作职责的一部分，即使他是“私自安排”的（比如为了完成工作任务而主动加班），只要这种安排没有违反公司的明确规定或法律法规的强制性规定，且受伤与值班工作直接相关，那么仍然有可能被认定为工伤。
公司是否认可：如果公司对项目经理的晚上值班行为表示认可（比如事后追认、支付加班费等），那么这进一步支持了工伤认定的可能性。如果公司明确表示反对或不知情，且这种反对或不知情与受伤有直接关联（比如因公司反对而导致的安全隐患未得到及时排除），则可能影响工伤认定，但并非绝对。
三、实际案例与司法实践
在实际案例中，工伤认定的结果往往取决于具体的事实和证据。例如：
如果项目经理能提供证据证明其晚上值班是为了完成工作任务，且受伤与值班工作直接相关（如巡查时摔倒、处理紧急情况时受伤等），那么工伤认定的可能性较大。
如果公司无法提供有效证据证明项目经理的晚上值班行为违反了公司规定或法律法规，且无法证明受伤与值班工作无关，那么公司应承担举证不能的不利后果，即工伤认定可能成立。
四、建议与行动
及时报告与申请：项目经理在受伤后应立即报告公司，并尽快向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。
收集证据：项目经理应尽可能收集与受伤相关的证据，如现场照片、证人证言、医疗记录等，以支持其工伤认定的申请。
咨询专业律师：如果公司对工伤认定有异议或拒绝配合，项目经理可以咨询专业律师，了解自己的权益和可能的法律途径。
最后，工伤认定是一个复杂且具体的过程，需要综合考虑多种因素。如果你或你身边的人遇到了类似的情况，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。