结论：在此情况下，公司不需要再与员工签订新的劳动合同，但需根据具体情况处理合同到期及员工离职的相关事宜。

分析说明：

1. 合同到期自然终止：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满的，劳动合同即行终止。因此，当员工的三年劳动合同在月初到期时，该合同已经自然终止，无需再签订新的合同来延续原有的劳动关系。

2. 员工月底离职的处理：

   • 尽管合同已经到期，但员工选择在月底离职，这并不影响合同到期的事实。公司在此期间应确保员工的合法权益得到保障，如支付应得的工资、经济补偿（如果适用）等。
   • 如果员工在合同到期后继续在公司工作，且双方未就新的劳动合同达成一致，那么从合同到期后的次日起，双方将形成事实劳动关系。但在此案例中，员工明确表示月底要离职，因此不太可能形成事实劳动关系。不过，为了谨慎起见，公司可以与员工沟通确认其离职意愿，并办理相关的离职手续。

3. 离职手续与证明：

   • 公司应按照相关规定为员工办理离职手续，包括结算工资、办理社保转移等。
   • 同时，公司应为员工出具离职证明，证明员工在公司的工作经历及离职原因等。

4. 特殊情况考虑：

   • 如果员工在合同到期前或到期后提出续签劳动合同的请求，且公司同意续签，那么双方应重新签订劳动合同，明确新的合同期限、工作内容、工资待遇等条款。
   • 如果员工因公司原因（如未及时支付工资、未提供劳动条件等）提出离职，并要求公司支付经济补偿或赔偿金，公司应根据相关法律法规及合同约定进行处理。

行动建议：

• 沟通确认：与员工进行沟通，确认其离职意愿及离职时间，确保双方对离职事宜达成一致。
• 办理离职手续：按照公司规定及法律法规要求，为员工办理离职手续，包括结算工资、办理社保转移、出具离职证明等。
• 法律风险防范：在处理员工离职事宜时，注意遵守相关法律法规及合同约定，避免引发劳动纠纷或法律风险。

后续思考：

• 公司应定期对劳动合同进行审查和管理，确保合同的合法性和有效性。
• 在处理员工离职事宜时，公司应注重与员工的沟通和协商，尽量达成双方都能接受的解决方案。
• 如果公司面临复杂的劳动纠纷或法律问题，建议及时咨询专业律师以获取法律支持和建议。

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